Definice lineárního vztahu

Co je lineární vztah?

Lineární vztah (nebo lineární asociace) je statistický termín používaný k popisu přímkového vztahu mezi dvěma proměnnými. Lineární vztahy lze vyjádřit buď v grafickém formátu, kde jsou proměnná a konstanta spojeny přímkou, nebo v matematickém formátu, kde je nezávislá proměnná vynásobena sklonovým koeficientem přidaným konstantou, která určuje závislou proměnnou.

Lineární vztah může být v kontrastu s polynomiálním nebo nelineárním (zakřiveným) vztahem.

Lineární rovnice je:

Matematicky je lineární vztah ten, který splňuje rovnici:

V této rovnici „x“ a „y“ jsou dvě proměnné, které souvisejí s parametry „m“ a „b“. Graficky y = mx + b vykresluje v rovině x-y jako přímku se sklonem „m“ a průsečíkem „b“. Průsečík „b“ je jednoduše hodnota „y“, když x = 0. Sklon „m“ se počítá z libovolných dvou jednotlivých bodů (x1, y1) a (x2, y2) jako:

m = (y2 − y1) (x2− x1) m = \ frac {(y_2 – y_1)} {(x_2 – x_1)} m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Co vám říká lineární vztah?

Existují tři sady nezbytných kritérií, které musí rovnice splňovat, aby se kvalifikovala jako lineární: rovnice vyjadřující lineární vztah může „ T se skládá z více než dvou proměnných, všechny proměnné v rovnici musí být na první mocninu a rovnice musí mít graf jako přímku.

Běžně používaná lineární vztah je korelace, která popisuje, jak blízko k lineární módě se jedna proměnná mění ve vztahu ke změnám v jiné proměnné.

V ekonometrii je lineární regrese často používanou metodou generování lineární vztahy k vysvětlení různých jevů. Běžně se používá při extrapolaci událostí z minulosti k vytváření předpovědí pro budoucnost. Ne všechny vztahy jsou však lineární. Některá data popisují vztahy, které jsou zakřivené (například polynomiální vztahy), zatímco další data nelze parametrizovat.

Lineární funkce

Matematicky podobné lineárnímu vztahu je pojem lineární funkce. V jedné proměnné lze lineární funkci zapsat následovně:

Toto je identické s daným vzorcem pro lineární vztah kromě toho, že symbol f (x) se používá místo y. Tato substituce slouží ke zvýraznění významu, že x je mapováno na f (x), zatímco použití y jednoduše naznačuje, že x a y jsou dvě veličiny související s A a B.

Příklady lineárních vztahů

Příklad 1

Lineární vztahy jsou v běžném životě docela běžné. Vezměme si například koncept rychlosti. Vzorec, který používáme k výpočtu rychlosti, je následující: rychlost je vzdálenost ujetá v čase. Pokud někdo v bílém minivanu Chrysler Town and Country 2007 cestuje mezi Sacramentem a Marysville v Kalifornii, úsek dlouhý 41,3 mil na dálnici 99, a celá cesta bude trvat 40 minut, bude cestovat rychlostí necelých 60 km / h.

Zatímco tam jsou více než dvě proměnné v této rovnici, je to stále lineární rovnice, protože jednou z proměnných bude vždy konstanta (vzdálenost).

Příklad 2

Lineární vztah lze také najít v rovnici vzdálenost = rychlost x čas. Protože vzdálenost je kladné číslo (ve většině případů), byl by tento lineární vztah vyjádřen v pravém horním kvadrantu grafu s osou X a Y.

Pokud kolo vyrobené pro dva cestovalo rychlostí 30 mil za hodinu po dobu 20 hodin, jezdec nakonec dojel 600 mil. Graficky znázorněna vzdálenost na ose Y a čas na ose X, čára sledující vzdálenost během těchto 20 hodin by cestovala rovně z konvergence os X a Y.

Příklad 3

Chcete-li převést Celsia na Fahrenheita nebo Fahrenheita na Celsia, použijete níže uvedené rovnice.Tyto rovnice vyjadřují v grafu lineární vztah:

° C = 59 (° F − 32) \ stupeň C = \ frac {5} {9} (\ stupeň F – 32) ° C = 95 (° F − 32)

° F = 95 ° C + 32 \ stupeň F = \ frac {9} {5 } \ stupeň C + 32 ° F = 59 ° C + 32

Příklad 4

Předpokládejme, že nezávislá proměnná má velikost domu (měřeno na metru čtverečním), který určuje tržní cenu domu (závislou proměnnou), když je vynásoben koeficientem sklonu 207,65 a poté je přidán ke stálému termínu 10 500 $. Pokud je čtvereční stopa domu 1 250, pak je tržní hodnota domu (1 250 x 207,65) + 10 500 $ = 270 062,50 $. Graficky a matematicky to vypadá takto:

V tomto příkladu se s rostoucí velikostí domu lineárně zvyšuje tržní hodnota domu.

Některé lineární vztahy mezi dvěma objekty lze nazvat „proporcionálním vztahem“. Tento vztah se jeví jako

Při analýze údajů o chování existuje zřídka dokonalý lineární vztah mezi proměnnými. Trendové čáry lze však najít v datech, která tvoří hrubou verzi lineárního vztahu. Můžete se například podívat na denní prodej zmrzliny a denní vysokou teplotu jako na dvě proměnné ve hře v grafu a najděte hrubý lineární vztah doplňte je.