Jak zjistíte vodorovné asymptoty funkce?

Problémy týkající se vodorovných asymptot se objevují na zkoušce AP Calculus AB i BC a je důležité vědět, jak najít vodorovné asymptoty graficky (ze samotného grafu) a analyticky (z rovnice pro funkci).

Než se ponoříme do hledání asymptot, i když lépe uvidíme, co přesně asymptota je.

Definice Horizontální asymptota

Horizontální asymptota pro funkci je vodorovná čára, ke které se graf funkce blíží, když x se blíží k ∞ (nekonečno) nebo -∞ (minus nekonečno). Jinými slovy, pokud y = k je horizontální asymptota pro funkci y = f (x), pak se hodnoty (souřadnice y) f (x) přibližují a přibližují k k, jak sledujete křivku doprava ( x → ∞) nebo doleva (x → -∞).

Definice limitu pro horizontální asymptoty

Protože jsou asymptoty definovány tímto způsobem, nemělo by být překvapením, že limity se objevují. Přesná definice horizontální asymptoty zní následovně: Říkáme, že y = k je horizontální asymptota pro funkci y = f (x), pokud platí kterýkoli ze dvou limitních příkazů:

.

Grafické hledání horizontálních asymptot

Pokud je uveden graf, jednoduše se podívejte na levá strana a pravá strana. Pokud se zdá, že se křivka vyrovná, jednoduše najděte souřadnici y, ke které se křivka blíží. Pomůže to načrtnout vodorovnou čáru ve výšce, kde by podle vás měla být asymptota. Podívejme se, jak to funguje v dalším příkladu. Mějte na paměti, že se vám obvykle nebude zobrazovat přerušovaná čára – to by problém příliš usnadnilo!

graf vlevo ukazuje typickou funkci. Pokud sledujete levou část křivky co nejdále doleva, kde skončíte? Jinými slovy, jaká je souřadnice y bodu nejvíce vlevo zobrazeného v grafu? Dobrý odhad může být někde mezi 1 a 2, možná trochu blíže k 1.

Představte si, co by se stalo, kdybyste pokračovali v kreslení grafu nalevo od zobrazeného. Zdá se rozumné, aby se křivka vyrovnala a přiblížila se k hodnotě 1, jemně se dotkla vodorovné čáry y = 1 stejně jako přistání letadla.

Podobně postupujte po pravé části křivky až k právo, jak můžete, a představte si, co by se stalo, kdybyste pokračovali. Zdá se, že se křivka opět vyrovnala a přiblížila se k y = 1, tentokrát vycházející zpod čáry. Tato funkce má jednu vodorovnou asymptotu, y = 1. Jakmile načrtnete čáru (na pravém obrázku je přerušovaná), je jasné, že jsme našli správnou vodorovnou asymptotu.

Analytické hledání vodorovných asymptot

Co když nedostanete graf? V mnoha případech je vlastně docela snadné určit horizontální asymptoty, pokud existují. Je třeba dodržovat jen několik pravidel.

Racionální funkce

Analýza termínu nejvyššího řádu

Chcete-li provést analýzu termínu nejvyššího řádu u racionální funkce, ujistěte se, že horní a dolní polynomy jsou plně rozbaleny a poté zapíšou novou funkci, která má pouze člen nejvyššího řádu shora a zdola. Všechny ostatní výrazy (výrazy nižšího řádu) lze bezpečně ignorovat. Zrušte všechny běžné faktory a proměnné a:

• Pokud je výsledkem konstanta k, pak y = k je jediná horizontální asymptota. To se stane, když se stupeň nahoře shoduje se stupněm na dně.

• Pokud má výsledek nahoře nějaké pravomoci x, pak neexistuje vodorovná asymptota.

• Pokud má výsledek v dolní části nějaké mocniny x, pak y = 0 je jediný horizontální asymptot.

Příklady pro analýzu termínu nejvyššího řádu

Pojďme použít analýzu termínu nejvyššího řádu k nalezení horizontálních asymptot následujících funkcí.

(c) Tentokrát neexistují žádné horizontální asymptoty, protože (x4) / (x3) = x / 1 ponechává x v horní části zlomku.

Exponenciální funkce

Metoda analýzy termínů nejvyššího řádu je rychlá a snadná, ale vztahuje se pouze na racionální funkce. Co když dostanete jiný druh funkce? Některé funkce, například exponenciální funkce, mají vždy vodorovnou asymptotu. Funkce tvaru f (x) = a (bx) + c má vždy horizontální asymptotu v y = c. Například horizontální asymptota y = 30e – 6x – 4 je: y = -4 a horizontální asymptota y = 5 (2x) je y = 0.

Horizontální asymptoty obecně?

Obecnější funkce mohou být těžší prolomit. Nezapomeňte však, že horizontální asymptota jsou technicky limity (jako x → ∞ nebo x → -∞). Proto měří konečné chování funkce.Pokud pracujete na části zkoušky, která umožňuje grafickou kalkulačku, můžete jednoduše grafovat funkci a sledovat ji doprava a doleva, dokud nezjistíte, zda se hodnoty vyrovnávají v obou směrech.

Závěr

Problémy s horizontálními asymptoty obvykle nejsou příliš obtížné. Víte, jak se dívat na graf, nebo pokud není uveden graf, pak víte, jak analyzovat funkci (analýza termínu nejvyššího řádu pro racionální funkce, speciální pravidlo pro exponenciální funkce, nebo když selžou všechny ostatní, zkuste grafy).