Náhodná proměnná je číselný popis výsledku statistického experimentu. Náhodná proměnná, která může předpokládat pouze konečné číslo nebo nekonečný sled hodnot, je považována za diskrétní; ten, který může předpokládat jakoukoli hodnotu v nějakém intervalu na řádku reálného čísla, je považován za spojitý. Například náhodná proměnná představující počet automobilů prodaných v konkrétním obchodním zastoupení v jeden den by byla diskrétní, zatímco náhodná proměnná představující váhu osoby v kilogramech (nebo librách) by byla spojitá.
Rozdělení pravděpodobnosti pro náhodnou proměnnou popisuje, jak jsou pravděpodobnosti rozloženy na hodnoty náhodné proměnné. Pro diskrétní náhodnou proměnnou x je rozdělení pravděpodobnosti definováno funkcí pravděpodobnostní hmotnosti, označenou f (x). Tato funkce poskytuje pravděpodobnost pro každou hodnotu náhodné proměnné. Při vývoji funkce pravděpodobnosti pro diskrétní náhodnou proměnnou musí být splněny dvě podmínky: (1) f (x) musí být pro každou hodnotu náhodné proměnné nezáporné a (2) součet pravděpodobností pro každou hodnotu náhodná proměnná se musí rovnat jedné.
Spojitá náhodná proměnná může nabývat jakékoli hodnoty v intervalu na řádku reálného čísla nebo v kolekci intervalů. Protože v každém intervalu existuje nekonečný počet hodnot, nemá smysl hovořit o pravděpodobnosti, že náhodná proměnná nabere určitou hodnotu; místo toho se uvažuje o pravděpodobnosti, že spojitá náhodná proměnná bude ležet v daném intervalu.
V spojitém případě je protějškem funkce pravděpodobnostní hmotnosti funkce hustoty pravděpodobnosti, rovněž označená f (x) . Pro spojitou náhodnou proměnnou poskytuje funkce hustoty pravděpodobnosti výšku nebo hodnotu funkce při jakékoli konkrétní hodnotě x; nedává přímo pravděpodobnost, že náhodná proměnná přijme určitou hodnotu. Plocha pod grafem f (x) odpovídající určitému intervalu, získaná výpočtem integrálu f (x) přes tento interval, však poskytuje pravděpodobnost, že proměnná nabude hodnoty v tomto intervalu. Funkce hustoty pravděpodobnosti musí splňovat dva požadavky: (1) f (x) musí být pro každou hodnotu náhodné proměnné nezáporné a (2) integrál přes všechny hodnoty náhodné proměnné se musí rovnat jedné.
Očekávaná hodnota nebo průměr náhodné proměnné – označené E (x) nebo μ – je vážený průměr hodnot, které může náhodná proměnná předpokládat. V diskrétním případě jsou váhy dány funkcí pravděpodobnostní hmotnosti a v spojitém případě jsou váhy dány funkcí hustoty pravděpodobnosti. Vzorce pro výpočet očekávaných hodnot diskrétních a spojitých náhodných proměnných jsou dány rovnicemi 2, respektive 3.
E (x) = Σxf (x) (2)
E (x) = ∫xf (x) dx (3)
Rozptyl náhodné proměnné, označený Var (x) nebo σ2, je váženým průměrem čtvercových odchylek od průměru. V diskrétním případě jsou váhy dány funkcí pravděpodobnostní hmotnosti a v kontinuálním případě jsou váhy dány funkcí hustoty pravděpodobnosti. Vzorce pro výpočet odchylek diskrétních a spojitých náhodných proměnných jsou dány rovnicemi 4 a 5. Směrodatná odchylka, označená σ, je kladná druhá odmocnina rozptylu. Protože směrodatná odchylka se měří ve stejných jednotkách jako náhodná proměnná a odchylka se měří ve čtvercových jednotkách, je směrodatná odchylka často preferovaným měřítkem.
Var (x) = σ2 = Σ (x – μ) 2f (x) (4)
Var (x) = σ2 = ∫ (x – μ) 2f (x) dx (5)