Zapomeňte na vše, co víte o číslech.
Ve skutečnosti zapomeňte na to, že vůbec víte, co je to číslo.
Toto tam začíná matematika.
Místo matematiky s čísly budeme nyní uvažovat o matematice s „věcmi“.
Definice
Co je sada? Jednoduše řečeno, je to „sa kolekce.
Nejprve zadáme společnou vlastnost mezi“ věcmi „(toto slovo definujeme později) a poté shromáždíme všechny“ věci „, které mají tuto společnou vlastnost.
Například položky, které nosíte: čepice, košile, bunda, kalhoty a tak dále.
Jsem si jistý, že byste mohli přijít alespoň se stovkou.
Toto se nazývá sada.
|
Jiným příkladem jsou typy prstů. Tato sada obsahuje index, prostředek, prsten a malíček. |
 |
Takže jde pouze o věci seskupené do určité společné vlastnosti.
Notace
Existuje poměrně jednoduchá notace pro množiny. Jednoduše uvedeme každý prvek (nebo „člena“) oddělený čárkou a potom kolem celé věci umístíme několik složených závorek:
Kudrnaté závorky {} se někdy nazývají „závorky“ nebo „závorky“.
Toto je označení pro dva předchozí příklady:
{ponožky, boty, hodinky, košile, …}
{index, střední, prsten, malíček}
Všimněte si, jak má první příklad znak „…“ (tři tečky společně) .
Tři tečky … se nazývají elipsa a znamenají „pokračovat dál“.
Takže to znamená, že první příklad pokračuje dál … . pro nekonečno.
(Dobře, není tu opravdu nekonečné množství věcí, které byste mohli nosit, ale tím si nejsem úplně jistý! Po hodině přemýšlení o různých věcech jsem stále si nejste jisti. Řekněme tedy, že pro tento příklad je to nekonečné.)
Takže:
Někdy však může být pro uložení použito uprostřed znak „…“ psaní dlouhých seznamů:
Příklad: sada písmen:
{a, b, c, .. ., x, y, z}
V tomto případě se jedná o konečnou množinu (existuje pouze 26 písmen, že?)
Číselné sady
Takže co to má společného s matematikou? Když definujeme množinu, vše, co musíme specifikovat, je společná charakteristika. Kdo říká, že to nemůžeme dělat s čísly?
A tak dále. Můžeme přijít se všemi různými typy množin.
Můžeme také definovat množinu podle jejích vlastností, například {x | x > 0}, což znamená „množinu všech x“ s, takže x je větší než 0 „, další informace najdete v poznámce Set-Builder.
A můžeme mít sady čísel, které nemají žádnou společnou vlastnost, jsou právě takto definovány. Například:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203 }
Jsou všechny sady, které jsem náhodně narazil na klávesnici, abych vytvořil.
Proč jsou sady důležité?
Sady jsou základní vlastností matematiky. Nyní, jako varování, se sady samy o sobě zdají docela zbytečné. Ale pouze když použijeme množiny v různých situacích, stanou se mocným stavebním kamenem matematiky, kterou jsou.
Matematika se může překvapivě komplikovat docela rychle. Teorie grafů, abstraktní algebra, reálná analýza, komplexní Analýza, lineární algebra, teorie čísel a seznam pokračuje. Existuje ale jedna věc, kterou mají všechny tyto společné: Sady.
Univerzální sada
 |
Na začátku jsme v uvozovkách použili slovo „things“. Říkáme tomu univerzální sada. Je to sada, která obsahuje všechno. No, ne úplně všechno. Vše, co souvisí s naší otázkou. |
|
 |
V teorii čísel je univerzální množina všech celých čísel, protože teorie čísel je jednoduše studium celých čísel. |
|
 |
Ale v programu Calculus (také známém jako reálná analýza) jsou univerzální množinou téměř vždy reálná čísla. |
|
 |
A ve složité analýze jste uhodli, že univerzální množina je komplexní čísla. |
Některé další notace
 |
Když mluvíme o sadách, je docela standardní používat k reprezentaci sady velká písmena a malá písmena k reprezentaci prvek v této sadě. Například A je množina a a je elém nt v A. Totéž s B a b a C a c. |
Nyní nemusíte poslouchat standard , můžete použít něco jako m, abyste reprezentovali množinu, aniž byste porušili nějaké matematické zákony (pozor, můžete získat π let v matematickém vězení za dělení 0), ale tato notace je docela pěkná a snadno sledovatelná, tak proč ne?
Když říkáme, že prvek a je v množině A, použijeme k jeho zobrazení symbol 
.
A pokud něco není v a set use 
.
Příklad: Sada A je {1,2,3}. Vidíme, že 1 A, ale 5 A
Rovnost
Dvě množiny jsou stejné, pokud mají přesně stejní členové. Nyní se na první pohled nemusí zdát rovnocenní, takže je možná budeme muset pečlivě prozkoumat!
Příklad: Jsou A a B stejné, kde:
- A je množina, jejíž členy jsou první čtyři kladná celá čísla
- B = {4, 2, 1, 3}
Pojďme to zkontrolovat. Oba obsahují 1. Oba obsahují 2. And 3, And 4. And we have checked every element of both sets, so: Yes, they are equal!
And the equals sign ( =) slouží k zobrazení rovnosti, takže píšeme:
A = B
Podskupiny
Když definujeme množinu, vezmeme-li její části, můžeme vytvořit tzv. podmnožinu.
Obecně:
A je podmnožinou B právě tehdy, když je každý prvek A v B.
Pojďme tedy použít tuto definici v některých příkladech.
Zkusme tvrdší příklad.
Správné podmnožiny
Pokud se podíváme na definici podmnožin a necháme svou mysl trochu bloudit, dostáváme se k podivnému závěr.
Nechť A je množina. Je každý prvek A v A?
No, hm, samozřejmě, ano?
Takže to znamená, že A je podmnožina A. Je to podmnožina sama o sobě!
Toto „Nezdá se to moc správné, že? Pokud chceme, aby naše podmnožiny byly správné, zavedeme (co jiného než) správné podmnožiny:
A je správná podmnožina B právě tehdy, když každý prvek A je také v B a v B existuje alespoň jeden prvek, který není v A.
Tento malý kousek na konci je, aby se ujistil, že A není vlastní podmnožina sama o sobě: říkáme, že B musí mít alespoň jeden prvek navíc.
Příklad:
{1, 2, 3} je podmnožina {1, 2, 3}, ale nejedná se o správnou podmnožinu {1, 2, 3}.
Příklad:
{1, 2, 3} je vlastní podmnožina {1, 2, 3, 4}, protože prvek 4 není v první sadě.
Všimněte si, že když A je správná podmnožina B, pak je také podmnožina B.
Ještě více notací
Když řekneme, že A je podmnožina B, napíšeme A 
B.
Nebo my může říci, že A není podmnožinou B od A 
B („A není podmnožinou B“)
Když mluvíme o správných podmnožinách, vyjmeme linku pod ní a stane se z ní A 
B, nebo pokud chceme říci opak, A 
B.
Prázdná (nebo nulová) množina
Toto je pravděpodobně nejpodivnější věc na množinách.
Jako příklad si představte sadu kláves pro klavír na kytaru.
„Ale počkejte!“ říkáte: „Na klavíru nejsou žádné klávesy pro klavír. kytara! “
A máte pravdu. Je to sada bez prvků.
Toto je známé jako prázdná sada (nebo nulová sada). Nejsou v ní žádné prvky. Žádný. Nula.
To je reprezentováno 
Nebo {} (sada bez prvků)
Některé další příklady prázdné sady jsou sada zemí jižně od jižního pólu.
Co je tedy tak divného na prázdné sadě? Tato část přijde na řadu.
Prázdná množina a podmnožiny
Pojďme se tedy vrátit k naší definici podmnožin. Máme množinu A. Nebudeme ji definovat více než to může být jakákoli sada. Je prázdná množina podmnožinou A?
Když se vrátíme k naší definici podmnožin, je-li každý prvek v prázdné množině také v A, pak je prázdná množina podmnožinou A. Ale co když nemáte žádné prvky?
K pochopení je zapotřebí úvod do logiky, ale toto tvrzení je „vakuově“ nebo „triviálně“ pravdivé.
Dobrý způsob, jak přemýšlet o to je: nemůžeme najít žádné prvky v prázdné sadě, které nejsou v A, takže musí být, že všechny prvky v prázdné sadě jsou v A.
Takže odpověď na položenou otázku je rozhodné ano.
Prázdná sada je podmnožinou každé sady, včetně samotné prázdné sady.
Objednávka
Ne, ne pořadí prvků. V sadách nezáleží na tom, v jakém pořadí jsou prvky.
Příklad: {1,2,3,4} je stejná sada jako {3,1,4,2}
Když řekneme pořadí v množinách, máme na mysli velikost množiny.
Jiným (lepším) názvem je mohutnost.
Konečná množina má konečné pořadí (nebo mohutnost). Nekonečná množina má nekonečný řád (nebo mohutnost).
U konečných množin je pořadí (nebo mohutnost) počet prvků.
Příklad: {10, 20, 30, 40} má pořadí 4.
U nekonečných množin můžeme říci jen to, že pořadí je nekonečné. Kupodivu můžeme u množin říci, že některá nekonečna jsou větší než ostatní, ale toto je pokročilejší téma v množinách.
Arg! Už jen notace!
Ne, jen si dělám srandu. Už žádná notace.
od
a