Definition der linearen Beziehung

Was ist eine lineare Beziehung?

Eine lineare Beziehung (oder lineare Assoziation) ist ein statistischer Begriff, der zur Beschreibung einer geradlinigen Beziehung zwischen zwei Variablen verwendet wird. Lineare Beziehungen können entweder in einem grafischen Format ausgedrückt werden, in dem die Variable und die Konstante über eine gerade Linie verbunden sind, oder in einem mathematischen Format, in dem die unabhängige Variable mit dem Steigungskoeffizienten multipliziert wird, der mit einer Konstanten addiert wird, die die abhängige Variable bestimmt / p>

Eine lineare Beziehung kann einer polynomiellen oder nichtlinearen (gekrümmten) Beziehung gegenübergestellt werden.

Die lineare Gleichung lautet:

Mathematisch ist eine lineare Beziehung eine, die die Gleichung erfüllt:

In dieser Gleichung ist „x“ und „y“ sind zwei Variablen, die durch die Parameter „m“ und „b“ in Beziehung stehen. Grafisch zeigt y = mx + b in der x-y-Ebene eine Linie mit der Steigung „m“ und dem y-Achsenabschnitt „b“. Der y-Achsenabschnitt „b“ ist einfach der Wert von „y“, wenn x = 0 ist. Die Steigung „m“ wird aus zwei beliebigen Punkten (x1, y1) und (x2, y2) berechnet als:

m = (y2 – y1) (x2 – x1) m = \ frac {(y_2 – y_1)} {(x_2 – x_1)} m = (x2 – x1) (y2 – y1)

Was sagt Ihnen eine lineare Beziehung?

Es gibt drei Sätze notwendiger Kriterien, die eine Gleichung erfüllen muss, um sich als linear zu qualifizieren: eine Gleichung, die eine lineare Beziehung ausdrückt, kann “ t bestehen aus mehr als zwei Variablen, alle Variablen in einer Gleichung müssen die erste Potenz haben und die Gleichung muss als gerade Linie dargestellt werden.

Eine häufig verwendete lineare Beziehung ist eine Korrelation, die beschreibt, wie nahe sich eine Variable an der linearen Art und Weise ändert, wenn sie sich auf Änderungen an einer anderen Variablen bezieht.

In der Ökonometrie ist die lineare Regression eine häufig verwendete Methode zur Erzeugung lineare Beziehungen zur Erklärung verschiedener Phänomene. Es wird häufig zur Extrapolation von Ereignissen aus der Vergangenheit verwendet, um Prognosen für die Zukunft zu erstellen. Nicht alle Beziehungen sind jedoch linear. Einige Daten beschreiben gekrümmte Beziehungen (z. B. Polynombeziehungen), während andere Daten nicht parametrisiert werden können.

Lineare Funktionen

Mathematisch ähnlich einer linearen Beziehung ist das Konzept einer linearen Funktion. In einer Variablen kann eine lineare Funktion wie folgt geschrieben werden:

Dies ist identisch mit der angegebenen Formel für eine lineare Beziehung, außer dass das Symbol f (x) wird anstelle von y verwendet. Diese Ersetzung wird vorgenommen, um die Bedeutung hervorzuheben, dass x auf f (x) abgebildet ist, während die Verwendung von y lediglich anzeigt, dass x und y zwei Größen sind, die durch A und B in Beziehung stehen.

Beispiele für lineare Beziehungen

Beispiel 1

Lineare Beziehungen sind im täglichen Leben ziemlich häufig. Nehmen wir zum Beispiel das Konzept der Geschwindigkeit. Die Formel, die wir zur Berechnung der Geschwindigkeit verwenden, lautet wie folgt: Die Geschwindigkeitsrate ist die über die Zeit zurückgelegte Strecke. Wenn jemand in einem weißen 2007er Chrysler Town and Country-Minivan zwischen Sacramento und Marysville fährt In Kalifornien, einer Strecke von 41,3 Meilen auf dem Highway 99, und die gesamte Fahrt dauert 40 Minuten. Sie wird knapp 60 Meilen pro Stunde gefahren sein.

Während sie dort war Sind mehr als zwei Variablen in dieser Gleichung enthalten, handelt es sich immer noch um eine lineare Gleichung, da eine der Variablen immer eine Konstante (Abstand) ist.

Beispiel 2

Eine lineare Beziehung kann auch in der Gleichung Abstand = Rate x Zeit gefunden werden. Da der Abstand (in den meisten Fällen) eine positive Zahl ist, wird diese lineare Beziehung im oberen rechten Quadranten eines Diagramms mit einer X- und Y-Achse ausgedrückt.

Wenn a Fahrrad für zwei Personen war 20 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 30 Meilen pro Stunde unterwegs, der Fahrer wird am Ende 600 Meilen zurücklegen. Grafisch dargestellt mit der Entfernung auf der Y-Achse und der Zeit auf der X-Achse, würde eine Linie, die die Entfernung über diese 20 Stunden verfolgt, direkt aus der Konvergenz der X- und Y-Achse heraus verlaufen.

Beispiel 3

Um Celsius in Fahrenheit oder Fahrenheit in Celsius umzuwandeln, verwenden Sie die folgenden Gleichungen.Diese Gleichungen drücken eine lineare Beziehung in einem Diagramm aus:

° C = 59 (° F – 32) \ Grad C = \ frac {5} {9} (\ Grad F – 32) ° C = 95 (° F – 32)

° F = 95 ° C + 32 \ Grad F = \ frac {9} {5 } \ Grad C + 32 ° F = 59 ° C + 32

Beispiel 4

Angenommen, die unabhängige Variable ist die Größe eines Hauses (gemessen anhand der Quadratmeterzahl), der den Marktpreis eines Eigenheims (die abhängige Variable) bestimmt, wenn dieser mit dem Steigungskoeffizienten von 207,65 multipliziert und dann zum konstanten Term 10.500 USD addiert wird. Wenn die Quadratmeterzahl eines Hauses 1.250 beträgt, beträgt der Marktwert des Hauses (1.250 x 207,65) + 10.500 USD = 270.062,50 USD. Grafisch und mathematisch sieht es wie folgt aus:

In diesem Beispiel steigt der Marktwert des Hauses mit zunehmender Größe des Hauses linear an.

Einige lineare Beziehungen zwischen zwei Objekten können als „proportionale Beziehung“ bezeichnet werden. Diese Beziehung wird als

angezeigt. Bei der Analyse von Verhaltensdaten gibt es selten eine perfekte lineare Beziehung zwischen Variablen. Trendlinien können jedoch in Daten gefunden werden, die eine grobe Version einer linearen Beziehung bilden. Sie können beispielsweise den täglichen Verkauf von Eiscreme und die tägliche Höchsttemperatur als die beiden Variablen betrachten, die im Spiel sind in einem Diagramm und finden Sie eine grobe lineare Beziehung sein zwischen den beiden.