Unohda kaikki, mitä tiedät numeroista.
Unohda itse asiassa edes tiedä mikä numero on.
Tämä josta matematiikka alkaa.
Numeroilla tehtävän matematiikan sijaan ajattelemme nyt matematiikkaa ”asioilla”.
Määritelmä
Mikä on setti? No, yksinkertaisesti sanottuna, se on kokoelma.
Ensin määritetään yhteinen ominaisuus ”asioiden” joukossa (määritämme tämän sanan myöhemmin) ja sitten kootaan kaikki ”asiat”, joilla on tämä yhteinen ominaisuus.
Esimerkiksi esineet, joita käytät: hattu, paita, takki, housut ja niin edelleen.
Olen varma, että saatat keksiä vähintään sata.
Tätä kutsutaan joukoksi.
|
Tai toinen esimerkki on sormityypit. Tämä sarja sisältää hakemiston, keskimmäisen, renkaan ja vaaleanpunainen. |
 |
Joten se on vain asioita, jotka on ryhmitelty tietyn yhteisen ominaisuuden kanssa.
Merkinnät
On olemassa melko yksinkertainen merkintä sarjoille. Luettelomme kaikki elementit (tai ”jäsenet”) pilkulla erotettuna ja laitamme sitten kiharat hakasulkeet koko asian ympärille:
kiharaisia suluita {} kutsutaan joskus ”asetetuiksi sulkeiksi” tai ”aaltosulkeiksi”.
Tämä on kahden edellisen esimerkin merkintätapa:
{sukat, kengät, kellot, paidat, …}
{hakemisto, keskimmäinen, rengas, vaaleanpunainen}
Huomaa, kuinka ensimmäisessä esimerkissä on ”…” (kolme pistettä yhdessä) .
Kolme pistettä … kutsutaan ellipsiksi ja ne tarkoittavat ”jatka eteenpäin”.
Tämä tarkoittaa, että ensimmäinen esimerkki jatkuu .. . äärettömyyteen.
(OK, ei oikeastaan ole ääretön määrä asioita, joita voisit pukeutua, mutta en ole siitä täysin varma! Kun olen ajatellut eri asioita tunnin ajan, ole vieläkään varma. Joten sanokaamme vain, että tämä esimerkki on ääretön.)
Joten:
Mutta joskus ”…” voidaan käyttää keskellä tallentamiseen kirjoitetaan pitkiä luetteloita:
Esimerkki: kirjainsarja:
{a, b, c, .. ., x, y, z}
Tässä tapauksessa se on äärellinen joukko (kirjaimia on vain 26, eikö?)
Numeeriset sarjat
Mitä tekemistä tällä on matematiikan kanssa? Kun määritämme joukon, meidän on määriteltävä vain yhteinen ominaisuus. Kuka sanoo, että emme voi tehdä niin numeroilla?
Ja niin edelleen. Voimme keksiä kaikenlaisia joukkoja.
Voimme määrittää joukon myös sen ominaisuuksien perusteella, kuten {x | x > 0}, mikä tarkoittaa ”kaikkien x”: n joukkoa siten, että x on suurempi kuin 0 ”, katso lisätietoja Set-Builder-merkinnästä.
Ja meillä voi olla numerosarjoja, joilla ei ole yhteistä ominaisuutta, ne vain määritellään tällä tavalla. Esimerkiksi:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203 }
Ovatko kaikki sarjat, jotka olen vain satunnaisesti lyönyt näppäimistöön tuottaakseni.
Miksi setit ovat tärkeitä?
Sarjat ovat matematiikan perusominaisuus. Nyt varoituksena sanat näyttävät itsessään melko turhilta. Mutta vain silloin, kun käytämme sarjoja eri tilanteissa, niistä tulee matematiikan voimakkaita rakennuspalikoita.
Matematiikasta voi tulla hämmästyttävän monimutkaista melko nopeasti. Graafiteoria, abstrakti algebra, todellinen analyysi, monimutkainen Analyysi, lineaarinen algebra, numeroteoria ja luettelo jatkuu. Mutta on yksi asia, joka kaikilla näillä on yhteinen: setit.
Yleisjoukko
 |
Alussa käytimme sanaa ”asiat” lainausmerkeissä. Kutsumme tätä universaaliksi joukoksi. Se on sarja, joka sisältää kaiken. No, ei aivan kaikkea. Kaikki, mikä liittyy kysymykseemme. |
|
 |
Numeroteoriassa yleisjoukko on kaikki kokonaisluvut, koska numeroteoria on yksinkertaisesti kokonaislukujen tutkimus. |
|
 |
Mutta laskennassa (tunnetaan myös nimellä todellinen analyysi) universaalijoukko on melkein aina todellinen luku. |
|
 |
Ja arvasit kompleksisessa analyysissä, universaali joukko on kompleksilukuja. |
Lisää merkintöjä
 |
Kun puhutaan sarjoista, on melko tavallista käyttää isoja kirjaimia edustamaan joukkoa ja pieniä kirjaimia edustamaan elementti siinä joukossa. Joten esimerkiksi A on joukko ja a on eleme Sama kuin B ja b sekä C ja c. |
Nyt sinun ei tarvitse kuunnella standardia , voit käyttää jotain m: tä edustamaan joukkoa rikkomatta mitään matemaattisia lakeja (varo, saat π vuotta matemaattisessa vankilassa jakamisesta 0: lla), mutta tämä merkintä on melko mukava ja helppo seurata, joten miksi ei?
Kun sanomme myös elementin a olevan joukossa A, käytämme symbolia 
sen näyttämiseen.
Ja jos jotain ei ole aseta käyttö 
.
Esimerkki: Joukko A on {1,2,3}. Voimme nähdä, että 1 A, mutta 5 A
Yhtälö
Kaksi joukkoa on yhtä suuri, jos niillä on täsmälleen samat jäsenet. Nyt ensi silmäyksellä he eivät välttämättä tunnu tasa-arvoisilta, joten meidän on ehkä tutkittava heitä tarkasti!
Esimerkki: Ovatko A ja B yhtäläiset missä:
- A on joukko, jonka jäsenet ovat neljä ensimmäistä positiivista kokonaislukua.
- B = {4, 2, 1, 3}
Tarkistetaan. Ne sisältävät molemmat 1. Ne sisältävät molemmat 2. Ja 3, Ja 4. Ja olemme tarkistaneet molempien sarjojen kaikki elementit, joten: Kyllä, ne ovat yhtäläisiä!
Ja yhtäsuuri merkki ( =) käytetään tasa-arvon osoittamiseen, joten kirjoitamme:
A = B
Alijoukot
Kun määritämme joukon, jos otamme osia siitä, voimme muodostaa ns. osajoukon.
Yleensä:
A on B: n osajoukko vain ja vain, jos A: n kaikki elementit ovat B: ssä.
Käytä siis tätä määritelmää joissakin esimerkeissä.
Kokeillaan kovempaa esimerkkiä.
Oikeat alijoukot
Jos katsomme osajoukkojen määritelmää ja annamme mielemme vaeltaa hieman, tulemme outoon johtopäätös.
Olkoon A joukko. Onko A: n jokainen alkuaine A: ssa?
No, umm, kyllä tietysti, eikö?
Tämä tarkoittaa siis, että A on A: n osajoukko. Se on itsensä osajoukko!
Tämä ei tunnu kovin oikealta, eikö niin? Jos haluamme alijoukkojemme olevan kunnossa, otamme käyttöön (mitä muuta paitsi) oikeat osajoukot:
A on B: n oikea alajoukko, jos ja vain jos kaikki A-elementti on myös B: ssä, ja B: ssä on ainakin yksi alkuaine, jota ei ole A: ssa.
Tämä pieni kappale lopussa on sen varmistamiseksi, että A ei ole oikea osajoukko itsestään: sanomme, että B: llä on oltava vähintään yksi ylimääräinen elementti.
Esimerkki:
{1, 2, 3} on osajoukko {1, 2, 3}, mutta ei ole oikea osajoukko {1, 2, 3}.
Esimerkki:
{1, 2, 3} on oikea osan {1, 2, 3, 4} osajoukko, koska elementti 4 ei ole ensimmäisessä joukossa.
Huomaa, että kun A on B: n oikea osajoukko, se on myös B: n osajoukko.
Vielä enemmän merkintöjä
Kun sanomme, että A on B: n osajoukko, kirjoitamme A 
B.
Tai me voi sanoa, että A ei ole B: n osajoukko A 
B: llä (”A ei ole B: n osajoukko”)
Kun puhumme oikeista alijoukoista, otamme alla olevan viivan pois ja niin siitä tulee A 
B tai jos haluamme sanoa päinvastoin, A 
B.
Tyhjä (tai tyhjä) joukko
Tämä on luultavasti oudoin asia sarjoissa.
Ajattele esimerkkinä kitaran pianonäppäinsarjaa.
”Mutta odota!” sanot: ”Levyllä ei ole pianonäppäimiä kitara! ”
Ja olet oikeassa. Se on joukko, jossa ei ole elementtejä.
Tätä kutsutaan tyhjäksi joukoksi (tai tyhjäksi). Siinä ei ole mitään elementtejä. Ei yhtä. Nolla.
Se edustaa 
Tai {} (joukko, jossa ei ole elementtejä)
Jotkut muut esimerkit tyhjästä joukosta ovat joukko maista etelänavan eteläpuolella.
Joten mikä on niin outoa tyhjässä sarjassa? No, se osa tulee seuraavaksi.
Tyhjät joukot ja alijoukot
Palatkaamme siis takaisin osajoukkojen määrittelyyn. Meillä on joukko A. Emme määritä sitä missään enemmän kuin se, se voi olla mikä tahansa sarja. Onko tyhjä joukko A: n osajoukko?
Palatessamme osajoukkojen määrittelyyn, jos kaikki elementit tyhjässä joukossa ovat myös A: ssa, niin tyhjä joukko on A: n osajoukko. Mutta mitä jos sinulla ei ole elementtejä?
Tämän ymmärtäminen vaatii johdannon logiikkaan, mutta tämä lausunto on ”tyhjästi” tai ”triviaalisesti” totta.
Hyvä tapa ajatella se on: emme voi löytää tyhjästä joukosta mitään elementtejä, joita ei ole A: sta, joten on oltava, että kaikki tyhjän sarjan elementit ovat A: ssa.
Joten vastaus esitettyyn kysymykseen on kaikuva kyllä.
Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko, mukaan lukien itse tyhjä joukko.
Järjestys
Ei, ei alkioiden järjestystä. Joukoissa ei ole väliä missä järjestyksessä elementit ovat.
Esimerkki: {1,2,3,4} on sama joukko kuin {3,1,4,2}
Kun sanomme järjestyksen sarjoissa, tarkoitamme joukon kokoa.
Toinen (parempi) nimi tälle on kardinaali.
Rajallisella joukolla on äärellinen järjestys (tai kardinaalisuus). Äärettömällä joukolla on ääretön järjestys (tai kardinaalisuus).
Äärellisille joukkoille järjestys (tai kardinaalisuus) on elementtien lukumäärä.
Esimerkki: {10, 20, 30, 40} on järjestyksessä 4.
Äärettömille joukoille voimme sanoa vain, että järjestys on ääretön. Kummallista kyllä, joukkoilla voidaan sanoa, että jotkut äärettömät ovat suurempia kuin toiset, mutta tämä on edistyneempi sarjajoukko.
Arg! Ei enempää notaatiota!
Ei, vain hauskaa. Ei enää merkintöjä.
ja