Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Satunnaismuuttuja on numeerinen kuvaus tilastollisen kokeen tuloksesta. Satunnaismuuttujan, joka voi olettaa vain rajallisen määrän tai rajattoman arvojakson, sanotaan olevan erillinen; sellaisen, joka voi ottaa minkä tahansa arvon tietyllä aikavälillä reaalilukurivillä, sanotaan olevan jatkuva. Esimerkiksi satunnaismuuttuja, joka edustaa tietyllä jälleenmyyjällä yhden päivän aikana myytyjen autojen lukumäärää, olisi erillinen, kun taas satunnaismuuttuja, joka edustaa henkilön painoa kilogrammoina (tai puntina), olisi jatkuva.

Lisätietoja tästä aiheesta
todennäköisyys ja tilastot: tilastojen nousu
1800-luvulla tilastot kasvoivat valtion empiirisenä tieteenä ja saivat etusijan sosiaalisen tiedon muodossa.

Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma kuvaa, kuinka todennäköisyydet jakautuvat satunnaismuuttujan arvoihin. Erilliselle satunnaismuuttujalle x todennäköisyysjakauma määritetään todennäköisyysmassafunktiolla, jota merkitään f (x). Tämä toiminto antaa todennäköisyyden jokaiselle satunnaismuuttujan arvolle. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktion kehittämisessä on täytettävä kaksi ehtoa: (1) f (x) ei saa olla negatiivinen satunnaismuuttujan jokaiselle arvolle ja (2) todennäköisyyksien summa kullekin arvolle satunnaismuuttujan on oltava yhtä.

Jatkuva satunnaismuuttuja voi ottaa minkä tahansa arvon reaalilukurivin tai intervallikokoelman välissä. Koska arvoja on rajattomasti missä tahansa aikavälissä, ei ole järkevää puhua todennäköisyydestä, että satunnaismuuttuja saa tietyn arvon; sen sijaan otetaan huomioon todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja on tietyllä aikavälillä.

Jatkuvassa tapauksessa todennäköisyysmassafunktion vastine on todennäköisyystiheysfunktio, jota merkitään myös f (x) . Jatkuvalle satunnaismuuttujalle todennäköisyystiheysfunktio antaa funktion korkeuden tai arvon millä tahansa tietyllä arvolla x; se ei suoraan anna todennäköisyyttä satunnaismuuttujalle tietyn arvon saamiseksi. Joitakin aikavälejä vastaava f (x) -kuvaajan alla oleva alue, joka saadaan laskemalla f (x): n integraali tälle aikavälille, antaa kuitenkin todennäköisyyden, että muuttuja saa arvon tällä aikavälillä. Todennäköisyystiheysfunktion on täytettävä kaksi vaatimusta: (1) f (x) ei saa olla negatiivinen satunnaismuuttujan jokaiselle arvolle ja (2) satunnaismuuttujan kaikkien arvojen integraalin on oltava yhtä suuri.

Satunnaismuuttujan – jota merkitään E (x) tai μ – odotettu arvo tai keskiarvo on painotettu keskiarvo arvoista, jotka satunnainen muuttuja voi ottaa. Diskreetissä tapauksessa painot saadaan todennäköisyysmassafunktiosta ja jatkuvassa tapauksessa painot todennäköisyystiheysfunktiosta. Kaavat erillisten ja jatkuvien satunnaismuuttujien odotettujen arvojen laskemiseksi annetaan yhtälöillä 2 ja 3. vastaavasti.

E (x) = Σxf (x) (2)

E (x) = ∫xf (x) dx (3)

Satunnaismuuttujan varianssi, jota merkitään Var (x) tai σ2, on painotettu keskiarvo neliöpoikkeamista keskiarvosta. Diskreetissä tapauksessa painot saadaan todennäköisyysmassafunktiosta ja jatkuvassa tapauksessa painot todennäköisyystiheysfunktiosta. Kaavat erillisten ja jatkuvien satunnaismuuttujien varianssien laskemiseksi annetaan yhtälöillä 4 ja 5, vastaavasti. Keskihajonta, merkittynä σ, on varianssin positiivinen neliöjuuri. Koska keskihajonta mitataan samoissa yksiköissä kuin satunnaismuuttuja ja varianssi mitataan neliöyksiköinä, standardipoikkeama on usein ensisijainen mittari.

Var (x) = σ2 = Σ (x – μ) 2f (x) (4)

Var (x) = σ2 = ∫ (x – μ) 2f (x) dx (5)

Leave a Reply

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *