Quoten und Quotenverhältnisse sind ein wichtiges Maß für die absolute / relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Interesse, aber ihre Interpretation ist manchmal ein wenig schwierig zu meistern. In diesem kurzen Beitrag werde ich diese Konzepte (hoffentlich) klar beschreiben.
Von der Wahrscheinlichkeit zur Gewinnchance
Unser Ausgangspunkt ist die Verwendung der Wahrscheinlichkeit, um die Chance auszudrücken, dass Ein Ereignis von Interesse tritt ein. Eine Wahrscheinlichkeit von 0,1 oder 10% Risiko bedeutet also, dass eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 10 besteht, dass das Ereignis eintritt. Die übliche Art, über die Wahrscheinlichkeit nachzudenken, ist, wenn wir das betrachtete Experiment oder den betreffenden Prozess wiederholen könnten In vielen Fällen sollte der Anteil der Experimente, bei denen das Ereignis auftritt, nahe an der Wahrscheinlichkeit liegen (z. B. 0,1).
Bruchquoten und Glücksspiel
Insbesondere in der Welt des Glücksspiels, Gewinnchancen werden manchmal als Brüche ausgedrückt, um die mentalen Berechnungen zu vereinfachen. Beispielsweise bedeuten Gewinnchancen von 9 zu 1 gegen, die als „neun zu eins gegen“ bezeichnet und als 9/1 oder 9: 1 geschrieben werden, das Ereignis von Interesse einmal pro 9 Mal auftreten, wenn das Ereignis nicht auftritt. Das heißt, in 10 Fällen / Replikationen erwarten wir, dass das Ereignis von Interesse einmal und t auftritt Das Ereignis sollte in den anderen 9 Zeiten nicht auftreten. Die Verwendung von Gewinnchancen zum Ausdrücken von Wahrscheinlichkeiten ist in einer Glücksspielumgebung nützlich, da man leicht berechnen kann, wie viel man gewinnen würde – mit einer Gewinnchance von 9/1 gewinnen Sie 9 für eine Wette von 1 (vorausgesetzt, Ihre Wette kommt gut!).
Quotenverhältnisse
In der Statistik werden Weltquotenverhältnisse häufig verwendet, um die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter zwei verschiedenen Bedingungen auszudrücken. Zum Beispiel können wir im Rahmen einer klinischen Studie, in der eine bestehende Behandlung mit einer neuen Behandlung verglichen wird, die Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses, wenn ein Patient die neue Behandlung einnimmt, mit der Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses vergleichen, wenn ein Patient die Behandlung einnimmt Bestehende Behandlung.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses beträgt 0,2, wenn ein Patient die bestehende Behandlung erhält, aber dies wird auf 0,1 reduziert, wenn er die neue Behandlung einnimmt. Die Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses mit der bestehenden Behandlung beträgt 0,2 / 0,8 = 0,25, während die Wahrscheinlichkeit für die neue Behandlung 0,1 / 0,9 = 0,111 (wiederkehrend) beträgt. Das Quotenverhältnis, das die neue Behandlung mit der alten Behandlung vergleicht, ist dann einfach das entsprechende Quotenverhältnis: (0,1 / 0,9) / (0,2 / 0,8) = 0,111 / 0,25 = 0,444 (wiederkehrend). Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses, wenn ein Patient die neue Behandlung erhält, 0,444 beträgt, die Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses, wenn er die bestehende Behandlung einnimmt. Die Wahrscheinlichkeit (und damit die Wahrscheinlichkeit) eines schlechten Ergebnisses wird durch die neue Behandlung verringert. Wir könnten die Reduzierung auch dadurch ausdrücken, dass die Gewinnchancen um ungefähr 56% reduziert werden, da die Gewinnchancen um den Faktor 0,444 reduziert werden.
Warum Quotenverhältnisse und nicht Risiko / Wahrscheinlichkeits-Verhältnisse?
Menschen finden Gewinnchancen und damit auch ein Quotenverhältnis oft (ich denke ganz verständlich) schwer intuitiv zu interpretieren. Eine Alternative ist die Berechnung von Risiko- oder Wahrscheinlichkeitsverhältnissen. Im Beispiel einer klinischen Studie ist das Risikoverhältnis (Lesewahrscheinlichkeit) einfach das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses unter der neuen Behandlung zur Wahrscheinlichkeit unter der bestehenden Behandlung, d. H. 0,1 / 0,2 = 0,5. Dies bedeutet, dass das Risiko eines schlechten Ergebnisses bei der neuen Behandlung halb so hoch ist wie bei der bestehenden Behandlung, oder dass das Risiko um die Hälfte reduziert wird. Intuitiv ist das Risikoverhältnis viel einfacher zu verstehen. Warum verwenden wir also Quoten und Quotenverhältnisse in Statistiken?
Logistische Regression
Oft möchten wir mehr als nur zwei Gruppen hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit / des Risikos / der Quoten einer vergleichen Ergebnis. Insbesondere sind wir häufig an der Anpassung statistischer Modelle interessiert, die beschreiben, wie die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des interessierenden Ereignisses von einer Reihe von Kovariaten oder Prädiktoren abhängt. Solche Modelle können in die verallgemeinerte lineare Modellfamilie eingepasst werden. Das beliebteste Modell ist die logistische Regression, bei der die Logit-Link-Funktion verwendet wird. Diese Wahl der Verknüpfungsfunktion bedeutet, dass die angepassten Modellparameter logarithmische Quotenverhältnisse sind, die in der Software normalerweise potenziert und als Quotenverhältnisse angegeben werden. Die Logit-Link-Funktion wird verwendet, weil es sich bei einem binären Ergebnis um die sogenannte kanonische Link-Funktion handelt, die ohne weitere Details bestimmte günstige Eigenschaften aufweist. Wenn wir Modelle für binäre Ergebnisse anpassen und den Standardansatz der logistischen Regression verwenden, sind die von uns geschätzten Parameter Quotenverhältnisse.
Eine Alternative zur logistischen Regression ist die Verwendung eines Log-Link-Regressionsmodells (log) Risikoverhältnisparameter. Leider haben diese in der Vergangenheit unter numerischen Problemen gelitten, als sie versuchten, sie an Daten anzupassen (siehe hier für ein Papier dazu).Es gibt jedoch auch ein grundlegenderes Problem bei der Protokollverknüpfungsregression, da die Protokollverknüpfung bedeutet, dass bestimmte Kombinationen von Kovariatenwerten zu angepassten Wahrscheinlichkeiten außerhalb des (0,1) -Bereichs führen können.
Fallkontrollstudien
In Kontrollstudien werden Personen mit einer Wahrscheinlichkeit in die Studie aufgenommen, die davon abhängt, ob sie das Ereignis von Interesse erlebt haben oder nicht. Sie sind besonders nützlich für die Untersuchung von Krankheiten, die selten auftreten. Eine Fallkontrollstudie könnte (versuchen), alle Personen einzuschreiben, die das Ereignis von Interesse in einem bestimmten Zeitraum erfahren, zusammen mit einer Reihe von „Kontrollen“, d. H. Personen, die das Ereignis von Interesse nicht erlebt haben. In einer Fallkontrollstudie unterliegt der Anteil der Fälle der Kontrolle des Prüfers, und insbesondere ist der Anteil in der Studie nicht repräsentativ für die Inzidenz in der Zielpopulation. Infolgedessen kann man das Risiko oder die Risikoverhältnisse nicht anhand der Fallkontrolle abschätzen Studien, zumindest nicht ohne externe Zusatzinformationen. Es stellt sich jedoch heraus, dass das Odds Ratio aufgrund einer bestimmten Symmetrieeigenschaft, die das Odds Ratio besitzt, mit einem Fallkontrolldesign immer noch gültig geschätzt werden kann.
Selten Ergebnisse
Wenn das Ereignis von Interesse selten ist (dh die Wahrscheinlichkeit, dass es auftritt, ist gering), sind die Quoten- und Risikoverhältnisse numerisch ziemlich ähnlich. Daher kann in Situationen mit seltenen Ergebnissen ein Quotenverhältnis so interpretiert werden, als ob Es handelte sich um ein Risikoverhältnis, da sie numerisch ähnlich sein werden. Wenn das Ergebnis jedoch nicht selten ist, können die beiden Maßnahmen erheblich voneinander abweichen (siehe hier zum Beispiel)