関数の水平方向の漸近線をどのように見つけますか？

水平方向の漸近線に関する問題は、AP Calculus ABとBCの両方の試験に現れます。また、水平方向の漸近線を両方ともグラフィカルに見つける方法を知ることが重要です。 （グラフ自体から）および分析的に（関数の方程式から）。

漸近線が正確に何であるかをよりよく理解できますが、漸近線を見つけることを掘り下げる前に。

の定義水平方向の漸近線

関数の水平方向の漸近線は、xが∞（無限大）または-∞（マイナス無限大）に近づくにつれて関数のグラフが近づく水平線です。言い換えると、y = kが関数y = f（x）の水平方向の漸近線である場合、曲線を右にトレースすると、f（x）の値（y座標）はkにますます近づきます（ x→∞）または左側（x→-∞）。

水平方向の漸近線の限界定義

漸近線はこのように定義されているため、当然のことながら、限界が現れます。水平方向の漸近線の正確な定義は次のとおりです。2つの制限ステートメントのいずれかが真の場合、y = kは関数y = f（x）の水平方向の漸近線であると言います。

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水平方向の漸近線をグラフィカルに見つける

グラフが表示されている場合は、単に左側と右側。曲線が横ばいになっているように見える場合は、曲線が近づいているように見えるy座標を見つけます。漸近線があるべきだと思う高さで水平線をスケッチするのに役立ちます。次の例でこれがどのように機能するかを見てみましょう。通常、破線は表示されないことに注意してください。これにより、問題が簡単になりすぎます。

左のグラフは代表的な機能です。カーブの左側をできるだけ左にたどると、どこに行き着くのでしょうか。つまり、グラフに表示されている左端の点のy座標は何ですか？適切な見積もりは、1から2の間のどこか、おそらく1に少し近いかもしれません。

表示されているものの左側にグラフを描き続けると、どうなるか想像してみてください。飛行機の着陸のように、曲線が横ばいになって値1に近づくのは、水平線y = 1にそっと触れていくのが妥当と思われます。

同様に、曲線の右側を次のように進みます。あなたができる限り正しい、そしてあなたが続けたらどうなるか想像してみてください。繰り返しますが、曲線は横ばいになり、y = 1に近づいているように見えますが、今回は線の下から上がっています。この関数には、単一の水平方向の漸近線、y = 1があります。線をスケッチすると（右側の図で破線）、正しい水平方向の漸近線が見つかったことが明らかになります。

解析的に水平方向の漸近線を見つける

グラフが表示されない場合はどうなりますか？多くの場合、水平方向の漸近線が存在する場合、それを決定するのは実際には非常に簡単です。従うべきルールはいくつかあります。

有理関数

高次項分析

有理関数で最高次項分析を行うには、次のことを確認してください。上と下の多項式は完全に展開され、上と下から最高次の項のみを持つ新しい関数を記述します。他のすべての用語（低次の用語）は安全に無視できます。一般的な因子と変数をキャンセルし、次のようにします。

• 結果が定数kの場合、y = kは単一の水平方向の漸近線です。これは、上部の次数が下部の次数と一致する場合に発生します。

• 結果の上部にxの累乗が残っている場合、水平方向の漸近線はありません。

• 結果の下部にxの累乗が残っている場合、y = 0は単一の水平方向の漸近線です。

最上位項分析の例

最上位項分析を使用して、次の関数の水平方向の漸近線を見つけましょう。

（c）今回は、（x4）/（x3）= x / 1であるため、水平方向の漸近線はなく、分数の上部にxが残ります。

指数関数

最高次の項の分析方法は迅速かつ簡単ですが、有理関数にのみ適用されます。別の種類の機能が与えられた場合はどうなりますか？指数関数などの特定の関数には、常に水平方向の漸近線があります。 f（x）= a（bx）+ cの形式の関数は、常にy = cで水平方向の漸近線を持ちます。たとえば、y = 30e–6x –4の水平方向の漸近線はy = -4であり、y = 5（2x）の水平方向の漸近線はy = 0です。

一般的な水平方向の漸近線？

より一般的な関数は、解読しにくい場合があります。ただし、水平方向の漸近線は技術的に制限されていることを覚えておいてください（x→∞またはx→-∞など）。したがって、関数の終了動作を測定します。グラフ電卓を使用できる試験のセクションで作業している場合は、関数をグラフ化し、値がどちらの方向でも横ばいになるかどうかを判断できるまで、関数を左右にトレースするだけです。

結論

水平方向の漸近線に関する問題は、通常、それほど難しくありません。 グラフの見方を知っているか、グラフが与えられていない場合は、関数を分析する方法を知っています（有理関数の最高次項分析、指数関数の特別な規則、または他のすべてが失敗した場合は、グラフを試してください）。