함수의 수평 점근선을 어떻게 찾습니까?

수평 점근선에 관한 문제는 AP Calculus AB 및 BC 시험 모두에 나타나며, 그래픽으로 수평 점근선을 찾는 방법을 아는 것이 중요합니다. (그래프 자체에서) 분석적으로 (함수에 대한 방정식에서)

점근선이 정확히 무엇인지 더 잘 알지만 점근선을 찾기 전에.

정의 수평 점근선

함수의 수평 점근선은 x가 ∞ (무한대) 또는 -∞ (무한대 마이너스)에 가까워 질 때 함수의 그래프가 접근하는 수평선입니다. 즉, y = k가 함수 y = f (x)에 대한 수평 점근선이면 곡선을 오른쪽으로 추적 할 때 f (x)의 값 (y 좌표)이 k에 점점 더 가까워집니다 ( x → ∞) 또는 왼쪽 (x → -∞).

수평 점근선에 대한 한계 정의

점근선은 이러한 방식으로 정의되기 때문에 놀랄 일이 아닙니다. 한계가 나타납니다. 수평 점근선의 정확한 정의는 다음과 같습니다. 두 제한 문 중 하나가 참이면 y = k가 함수 y = f (x)에 대한 수평 점근선이라고 말합니다.

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그래픽으로 수평 점근선 찾기

그래프가 제공되면 간단히 왼쪽과 오른쪽. 곡선이 수평을 이루는 것처럼 보이면 곡선이 접근하는 것처럼 보이는 y 좌표를 찾으십시오. 점근선이 있어야한다고 생각하는 높이에 수평선을 스케치하면 도움이됩니다. 다음 예에서 이것이 어떻게 작동하는지 살펴 보겠습니다. 일반적으로 점선이 표시되지 않으므로 문제를 너무 쉽게 해결할 수 있습니다.

왼쪽의 그래프는 일반적인 기능을 보여줍니다. 커브의 왼쪽 부분을 최대한 왼쪽으로 따라 가면 어디로 가나 요? 즉, 그래프에 표시된 가장 왼쪽 점의 y 좌표는 무엇입니까? 좋은 추정치는 1과 2 사이, 아마도 1에 조금 더 가까울 수 있습니다.

표시된 항목의 왼쪽에 그래프를 계속 그리면 어떤 일이 일어날 지 상상해보십시오. 곡선이 수평을 이루고 1에 가까워지고 비행기가 착륙하는 것처럼 수평선 y = 1을 부드럽게 터치하는 것이 합리적입니다.

마찬가지로 곡선의 오른쪽 부분을 따라 가능한 한 권리를 유지하고 계속 가면 어떻게 될지 상상해보십시오. 다시 말하지만, 곡선은 수평을 유지하고 y = 1에 접근하는 것처럼 보입니다. 이번에는 선 아래에서 올라옵니다. 이 함수에는 단일 수평 점근선 y = 1이 있습니다. 선 (오른쪽 그림에서 점선)을 스케치하면 올바른 수평 점근선을 찾았다는 것이 분명해집니다.

분석적으로 수평 점근선 찾기

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그래프가 제공되지 않으면 어떻게합니까? 많은 경우에 수평 점근선이있는 경우이를 결정하는 것은 실제로 매우 쉽습니다. 따라야 할 몇 가지 규칙이 있습니다.

합리적 함수

최상위 항 분석

합리적 함수에 대한 최상위 항 분석을 수행하려면 다음을 확인하십시오. 상단 및 하단 다항식이 완전히 확장 된 다음 상단 및 하단에서 가장 높은 순서의 항만 갖는 새 함수를 작성합니다. 다른 모든 용어 (낮은 순서)는 무시해도됩니다. 모든 공약수와 변수를 취소하고 :

• 결과가 상수 k이면 y = k가 단일 수평 점근선입니다. 이것은 상단의 각도가 하단의 각도와 일치 할 때 발생합니다.

• 결과에 x의 거듭 제곱이 상단에 남아 있으면 수평 점근선이 없습니다.

• 결과의 밑에 x의 거듭 제곱이 남는 경우 y = 0은 단일 수평 점근선입니다.

최상위 항 분석의 예

최상위 항 분석을 사용하여 다음 함수의 수평 점근선을 찾아 보겠습니다.

(c) 이번에는 (x4) / (x3) = x / 1이기 때문에 수평 점근선이 없습니다. 분수의 맨 위에 x가 남습니다.

지수 함수

최상위 항 분석 방법은 빠르고 쉽지만 합리적 함수에만 적용됩니다. 다른 종류의 기능이 주어지면 어떨까요? 지수 함수와 같은 특정 함수에는 항상 수평 점근선이 있습니다. f (x) = a (bx) + c 형식의 함수는 항상 y = c에서 수평 점근선을 갖습니다. 예를 들어, y = 30e–6x – 4의 수평 점근선은 y = -4이고 y = 5 (2x)의 수평 점근선은 y = 0입니다.

일반적인 수평 점근선?

보다 일반적인 기능은 크래킹하기 더 어려울 수 있습니다. 그러나 수평 점근선은 기술적으로 제한 (x → ∞ 또는 x → -∞)이라는 것을 기억하십시오. 따라서 함수의 최종 동작을 측정합니다.그래프 계산기를 사용할 수있는 시험 섹션에서 작업하는 경우 함수를 그래프로 표시하고 값이 어느 방향 으로든 수평이 맞지 않는지 확인할 수있을 때까지 오른쪽과 왼쪽으로 추적하면됩니다.

결론

수평 점근선에 대한 문제는 일반적으로 그리 어렵지 않습니다. 그래프를 보는 방법을 알고 있거나 그래프가 제공되지 않은 경우 함수를 분석하는 방법을 알고 있습니다 (합리적 함수에 대한 최고 차항 분석, 지수 함수에 대한 특수 규칙 또는 다른 모든 것이 실패하면 그래프 작성을 시도하십시오). / p>