Hvordan finner du de horisontale asymptotene til en funksjon?

Problemer angående horisontale asymptoter vises både på AP Calculus AB og BC eksamen, og det er viktig å vite hvordan man finner horisontale asymptoter begge grafisk (fra selve grafen) og analytisk (fra ligningen for en funksjon).

Før vi går inn i å finne asymptotene, skjønner vi bedre hva en asymptote er.

Definisjon av Horisontal asymptote

En horisontal asymptote for en funksjon er en horisontal linje som grafen til funksjonen nærmer seg når x nærmer seg ∞ (uendelig) eller -∞ (minus uendelig). Med andre ord, hvis y = k er en horisontal asymptote for funksjonen y = f (x), så kommer verdiene (y-koordinatene) til f (x) nærmere og nærmere k når du sporer kurven til høyre ( x → ∞) eller til venstre (x → -∞).

Begrensningsdefinisjonen for horisontale asymptoter

Fordi asymptoter er definert på denne måten, bør det ikke komme som noen overraskelse at grenser ser ut. Den nøyaktige definisjonen av en horisontal asymptote går som følger: Vi sier at y = k er en horisontal asymptote for funksjonen y = f (x) hvis en av de to grensesetningene er sanne:

.

Finne horisontale asymptoter grafisk

Hvis en graf er gitt, så bare se på venstre og høyre side. Hvis det ser ut til at kurven utjevner seg, er det bare å finne y-koordinaten som kurven ser ut til å nærme seg. Det hjelper å tegne en horisontal linje i høyden der du mener asymptoten skal være. La oss se hvordan dette fungerer i neste eksempel. Husk at du vanligvis ikke får vist den stiplede linjen – det vil gjøre problemet altfor enkelt!

The graf til venstre viser en typisk funksjon. Hvis du følger venstre del av kurven så langt til venstre du kan, hvor havner du? Med andre ord, hva er y-koordinaten til det venstre punktet vist i grafen? Et godt estimat kan være et sted mellom 1 og 2, kanskje litt nærmere 1.

Tenk deg hva som ville skje hvis du fortsatte å tegne grafen til venstre for det som vises. Det virker rimelig at kurven nivåer seg og nærmer seg verdien 1, og berører den horisontale linjen y = 1 forsiktig akkurat som et fly som lander.

Følg den høyre delen av kurven til rett som du kan, og forestill deg hva som ville skje hvis du fortsatte. Igjen ser kurven ut til å jevne seg ut og nærme seg y = 1, denne gangen kommer opp under linjen. Denne funksjonen har en enkelt horisontal asymptote, y = 1. Når du tegner linjen (stiplet i høyre figur), blir det klart at vi har funnet riktig horisontal asymptote.

Finne horisontale asymptoter analytisk

Hva om du ikke får noen graf? Vel, i mange tilfeller er det faktisk ganske enkelt å bestemme den horisontale asymptoten (e), hvis noen finnes. Det er bare noen få regler å følge.

Rasjonelle funksjoner

Analyse av høyeste ordetermin

For å gjøre analyse av høyeste ordens term på en rasjonell funksjon, må du sørge for at topp- og bunnpolynomer utvides fullt ut, og skriv deretter en ny funksjon som bare har den høyeste ordebegrepet fra toppen og fra bunnen. Alle andre vilkår (vilkår for lavere ordre) kan trygt ignoreres. Avbryt vanlige faktorer og variabler, og:

• Hvis resultatet er konstant k, er y = k den eneste horisontale asymptoten. Dette skjer når graden av toppen samsvarer med graden av bunnen.

• Hvis resultatet har noen krefter på x igjen på toppen, er det ingen horisontal asymptote.

• Hvis resultatet har noen krefter på x til overs på bunnen, er y = 0 den eneste horisontale asymptoten.

Eksempler på termestanalyse av høyeste ordre

La oss bruke termanalyse av høyeste ordre for å finne de horisontale asymptotene til følgende funksjoner.

(c) Denne gangen er det ingen horisontale asymptoter fordi (x4) / (x3) = x / 1, og etterlater et x på toppen av brøkdelen.

Eksponensielle funksjoner

Metoden for analyse av høyeste ordens sikt er rask og enkel, men gjelder bare for rasjonelle funksjoner. Hva om du får en annen type funksjon? Enkelte funksjoner, som eksponentielle funksjoner, har alltid en horisontal asymptote. En funksjon av formen f (x) = a (bx) + c har alltid en horisontal asymptote ved y = c. For eksempel er den horisontale asymptoten til y = 30e – 6x – 4: y = -4, og den horisontale asymptoten til y = 5 (2x) er y = 0.

Horisontale asymptoter generelt?

Mer generelle funksjoner kan være vanskeligere å knekke. Bare husk imidlertid at en horisontal asymptote er teknisk begrensninger (som x → ∞ eller x → -∞). Derfor måler de funksjonens sluttatferd.Hvis du jobber med en del av eksamenen som tillater en grafkalkulator, kan du ganske enkelt tegne grafen for funksjonen og spore den til høyre og venstre til du kan bestemme om verdiene planer ut i begge retninger.

Konklusjon

Problemer med horisontale asymptoter er vanligvis ikke så vanskelige. Vet hvordan du skal se på grafen, eller hvis en graf ikke er gitt, og vet hvordan du skal analysere funksjonen (høyeste ordens termanalyse for rasjonelle funksjoner, den spesielle regelen for eksponensielle funksjoner, eller når alt annet mislykkes, prøv å tegne graf). / p>