Definicja relacji liniowej

Co to jest relacja liniowa?

Zależność liniowa (lub powiązanie liniowe) to termin statystyczny używany do opisania relacji w linii prostej między dwiema zmiennymi. Zależności liniowe można wyrazić w formacie graficznym, w którym zmienna i stała są połączone linią prostą, lub w formacie matematycznym, w którym zmienna niezależna jest mnożona przez współczynnik nachylenia, dodany przez stałą, która określa zmienną zależną.

Liniowa zależność może być przeciwstawiona wielomianowej lub nieliniowej (zakrzywionej) zależności.

Równanie liniowe to:

Matematycznie zależność liniowa to taka, która spełnia równanie:

W tym równaniu „x” a „y” to dwie zmienne, które są powiązane parametrami „m” i „b”. Graficznie y = mx + b wykreśla na płaszczyźnie x-y jako linię o nachyleniu „m” i przecięcie z osią y „b”. Punkt przecięcia z osią y „b” jest po prostu wartością „y”, gdy x = 0. Nachylenie „m” jest obliczane z dowolnych dwóch pojedynczych punktów (x1, y1) i (x2, y2) jako:

m = (y2 − y1) (x2− x1) m = \ frac {(y_2 – y_1)} {(x_2 – x_1)} m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Co mówi Ci zależność liniowa?

Istnieją trzy zestawy niezbędnych kryteriów, które musi spełnić równanie, aby zakwalifikować je jako liniowe: równanie wyrażające zależność liniową może ” t składa się z więcej niż dwóch zmiennych, wszystkie zmienne w równaniu muszą być do pierwszej potęgi, a równanie musi być wykreślone jako linia prosta.

Powszechnie używany liniowy zależność to korelacja, która opisuje, jak blisko liniowej mody zmienia się jedna zmienna w stosunku do zmian w innej zmiennej.

W ekonometrii regresja liniowa jest często używaną metodą zależności liniowe wyjaśniające różne zjawiska. Jest powszechnie używany do ekstrapolacji wydarzeń z przeszłości w celu tworzenia prognoz na przyszłość. Jednak nie wszystkie relacje są liniowe. Niektóre dane opisują relacje, które są zakrzywione (takie jak relacje wielomianowe), podczas gdy innych danych nie można sparametryzować.

Funkcje liniowe

Matematycznie podobne do zależności liniowej jest pojęciem funkcji liniowej. W jednej zmiennej funkcję liniową można zapisać w następujący sposób:

Jest to identyczne z podanym wzorem na zależność liniową, z tą różnicą, że symbol f (x) jest używane zamiast y. To podstawienie ma na celu podkreślenie znaczenia, że x jest odwzorowane na f (x), podczas gdy użycie y oznacza po prostu, że x i y są dwiema wielkościami powiązanymi przez A i B.

Przykłady zależności liniowych

Przykład 1

Relacje liniowe są dość powszechne w życiu codziennym. Weźmy na przykład pojęcie prędkości. Wzór, którego używamy do obliczenia prędkości, jest następujący: wskaźnik prędkości to odległość pokonana w czasie. Jeśli ktoś w białym minivanie Chrysler Town and Country z 2007 roku podróżuje między Sacramento i Marysville w Kalifornii, na odcinku 41,3 mili na autostradzie 99, a cała podróż kończy się w 40 minutach, będzie jechać nieco poniżej 60 mil na godzinę.

Tam są więcej niż dwiema zmiennymi w tym równaniu, nadal jest to równanie liniowe, ponieważ jedna ze zmiennych zawsze będzie stała (odległość).

Przykład 2

Liniową zależność można również znaleźć w równaniu odległość = stopa x czas. Ponieważ odległość jest liczbą dodatnią (w większości przypadków), ta zależność liniowa byłaby wyrażona w prawym górnym kwadrancie wykresu z osiami X i Y.

Jeśli a rower przeznaczony dla dwojga jechał z prędkością 30 mil na godzinę przez 20 godzin, rowerzysta przejechał 600 mil. Przedstawiona graficznie z odległością na osi Y i czasem na osi X, linia śledząca odległość w ciągu tych 20 godzin wyruszyłaby prosto ze zbieżności osi X i Y.

Przykład 3

Aby przeliczyć stopnie Celsjusza na Fahrenheita lub Fahrenheita na Celsjusza, należy użyć poniższych równań.Te równania wyrażają liniową zależność na wykresie:

° C = 59 (° F − 32) \ degree C = \ frac {5} {9} (\ degree F – 32) ° C = 95 (° F − 32)

° F = 95 ° C + 32 \ degree F = \ frac {9} {5 } \ degree C + 32 ° F = 59 ° C + 32

Przykład 4

Załóżmy, że zmienną niezależną jest wielkość domu (mierzony jako powierzchnia kwadratowa), który określa cenę rynkową domu (zmienna zależna) po pomnożeniu jej przez współczynnik nachylenia 207,65, a następnie dodaniu do stałego składnika 10500 USD. Jeśli powierzchnia domu wynosi 1250, to wartość rynkowa domu wynosi (1250 x 207,65) + 10500 $ = 270 062,50 $. Graficznie i matematycznie wygląda to następująco:

W tym przykładzie wraz ze wzrostem wielkości domu wartość rynkowa domu rośnie w sposób liniowy.

Niektóre liniowe relacje między dwoma obiektami można nazwać „relacją proporcjonalną”. Relacja ta pojawia się jako

Podczas analizy danych behawioralnych rzadko można liniowa zależność między zmiennymi. Jednak linie trendu można znaleźć w danych, które tworzą przybliżoną wersję zależności liniowej. Możesz na przykład spojrzeć na dzienną sprzedaż lodów i dzienną wysoką temperaturę jako dwie zmienne występujące w grze na wykresie i znajdź prostą zależność liniową między nimi.