Jak znaleźć poziome asymptoty funkcji?

Problemy dotyczące poziomych asymptot pojawiają się zarówno na egzaminie AP Calculus AB, jak i BC, dlatego ważne jest, aby wiedzieć, jak znaleźć poziome asymptoty zarówno w formie graficznej (z samego wykresu) i analitycznie (z równania funkcji).

Zanim zagłębimy się w znajdowanie asymptot, lepiej zobaczmy, czym dokładnie jest asymptota.

Definicja Asymptota pozioma

Asymptota pozioma dla funkcji to pozioma linia, do której wykres funkcji zbliża się, gdy x zbliża się do ∞ (nieskończoność) lub -∞ (minus nieskończoność). Innymi słowy, jeśli y = k jest poziomą asymptotą funkcji y = f (x), wówczas wartości (współrzędne y) funkcji f (x) zbliżają się coraz bardziej do k, gdy śledzisz krzywą w prawo ( x → ∞) lub w lewo (x → -∞).

Definicja granicy dla asymptot poziomych

Ponieważ asymptoty są definiowane w ten sposób, nie powinno dziwić, że pojawiają się granice. Dokładna definicja asymptoty poziomej jest następująca: Mówimy, że y = k jest asymptotą poziomą funkcji y = f (x), jeśli jedno z dwóch stwierdzeń granicznych jest prawdziwe:

.

Graficzne znajdowanie poziomych asymptot

Jeśli podano wykres, po prostu spójrz na lewą i prawą stronę. Jeśli wydaje się, że krzywa się wyrównuje, po prostu znajdź współrzędną y, do której krzywa wydaje się zbliżać. Pomaga naszkicować poziomą linię na wysokości, na której Twoim zdaniem powinna znajdować się asymptota. Zobaczmy, jak to działa w następnym przykładzie. Pamiętaj, że zazwyczaj nie będzie wyświetlana przerywana linia – to znacznie ułatwiłoby problem!

wykres po lewej stronie przedstawia typową funkcję. Jeśli podążasz za lewą częścią łuku tak daleko w lewo, jak tylko możesz, gdzie skończysz? Innymi słowy, jaka jest współrzędna y skrajnego lewego punktu pokazanego na wykresie? Dobre oszacowanie może wynosić od 1 do 2, być może trochę bliżej do 1.

Cóż, wyobraź sobie, co by się stało, gdybyś kontynuował rysowanie wykresu po lewej stronie tego, co pokazano. Wydaje się rozsądne, że krzywa wyrównuje się i zbliża do wartości 1, delikatnie dotykając poziomej linii y = 1, tak jak przy lądowaniu samolotu.

Podobnie postępuj zgodnie z prawą częścią krzywej aż do tak, jak potrafisz, i wyobraź sobie, co by się stało, gdybyś kontynuował. Ponownie krzywa wydaje się wyrównywać i zbliżać się do y = 1, tym razem wychodząc spod linii. Ta funkcja ma pojedynczą asymptotę poziomą, y = 1. Po naszkicowaniu linii (przerywanej na rysunku po prawej stronie) staje się jasne, że znaleźliśmy prawidłową asymptotę poziomą.

Znajdowanie asymptot poziomych w sposób analityczny

A co jeśli nie otrzymasz wykresu? Cóż, w wielu przypadkach dość łatwo jest określić asymptoty poziome, jeśli takie istnieją. Jest tylko kilka reguł, których należy przestrzegać.

Funkcje wymierne

Analiza terminów najwyższego rzędu

Aby przeprowadzić analizę składników najwyższego rzędu w funkcji wymiernej, upewnij się, że wielomiany górny i dolny są w pełni rozwinięte, a następnie zapisują nową funkcję, która ma tylko najwyższy człon rzędu od góry i od dołu. Wszystkie inne terminy (terminy niższego rzędu) można bezpiecznie zignorować. Anuluj wszelkie wspólne czynniki i zmienne oraz:

• Jeśli wynik jest stałą k, to y = k jest pojedynczą asymptotą poziomą. Dzieje się tak, gdy stopień góry pokrywa się ze stopniem dołu.

• Jeśli wynik ma potęgę x na górze, to nie ma asymptoty poziomej.

• Jeśli wynik ma jakiekolwiek potęgi x na dole, to y = 0 jest pojedynczą asymptotą poziomą.

Przykłady analizy terminów najwyższego rzędu

Użyjmy analizy terminów najwyższego rzędu, aby znaleźć poziome asymptoty następujących funkcji.

(c) Tym razem nie ma poziomych asymptot, ponieważ (x4) / (x3) = x / 1, pozostawiając x na górze ułamka.

Funkcje wykładnicze

Metoda analizy składników najwyższego rzędu jest szybka i łatwa, ale ma zastosowanie tylko do funkcji wymiernych. A co, jeśli otrzymasz inny rodzaj funkcji? Niektóre funkcje, takie jak funkcje wykładnicze, zawsze mają asymptotę poziomą. Funkcja postaci f (x) = a (bx) + c zawsze ma poziomą asymptotę przy y = c. Na przykład asymptota pozioma y = 30e – 6x – 4 to: y = -4, a asymptota pozioma y = 5 (2x) to y = 0.

Asymptoty poziome w ogóle?

Bardziej ogólne funkcje mogą być trudniejsze do złamania. Jednak pamiętaj tylko, że asymptota pozioma jest technicznie ograniczeniem (jak x → ∞ lub x → -∞). Dlatego mierzą końcowe zachowanie funkcji.Jeśli pracujesz nad częścią egzaminu, która umożliwia korzystanie z kalkulatora graficznego, możesz po prostu narysować wykres funkcji i prześledzić ją w prawo i w lewo, aż będziesz mógł określić, czy wartości wyrównują się w dowolnym kierunku.

Wniosek

Problemy związane z asymptotami poziomymi zwykle nie są zbyt trudne. Wiedz, jak patrzeć na wykres lub jeśli wykres nie jest podany, to wiedz, jak analizować funkcję (analiza składników najwyższego rzędu dla funkcji wymiernych, specjalna reguła dla funkcji wykładniczych lub gdy wszystko inne zawiedzie, spróbuj wykonać wykres).