Hur hittar du de horisontella asymptoterna för en funktion?

Problem med horisontella asymptoter visas både i AP Calculus AB och BC-examen, och det är viktigt att veta hur man hittar horisontella asymptoter båda grafiskt (från själva diagrammet) och analytiskt (från ekvationen för en funktion).

Innan vi fördjupar oss i att hitta asymptoterna, men vi ser bättre vad exakt en asymptot är.

Definition Horisontell asymptot

En horisontell asymptot för en funktion är en horisontell linje som grafen för funktionen närmar sig när x närmar sig ∞ (oändlighet) eller -∞ (minus oändlighet). Med andra ord, om y = k är en horisontell asymptot för funktionen y = f (x), kommer värdena (y-koordinaterna) för f (x) närmare och närmare k när du spårar kurvan till höger ( x → ∞) eller till vänster (x → -∞).

Gränsdefinitionen för horisontella asymptoter

Eftersom asymptoter definieras på detta sätt borde det inte bli någon överraskning att gränser gör ett utseende. Den exakta definitionen av en horisontell asymptot går som följer: Vi säger att y = k är en horisontell asymptot för funktionen y = f (x) om någon av de två gränssatserna är sanna:

.

Hitta horisontella asymptoter grafiskt

Om en graf ges, titta bara på vänster och höger sida. Om det verkar som att kurvan planar ut är det bara att hitta y-koordinaten som kurvan verkar närma sig. Det hjälper till att skissa en horisontell linje på höjden där du tycker att asymptoten ska vara. Låt oss se hur detta fungerar i nästa exempel. Tänk på att du vanligtvis inte kommer att visa den streckade linjen – det skulle göra problemet alldeles för enkelt!

grafen till vänster visar en typisk funktion. Om du följer den vänstra delen av kurvan så långt till vänster du kan, var hamnar du då? Med andra ord, vad är y-koordinaten för punkten längst till vänster som visas i diagrammet? En bra uppskattning kan vara någonstans mellan 1 och 2, kanske lite närmare 1.

Tänk dig vad som skulle hända om du fortsatte att rita grafen till vänster om det som visas. Det verkar rimligt att kurvan planar ut och närmar sig värdet 1 och trycker försiktigt ner på den horisontella linjen y = 1 precis som ett flygplan landar.

Följ också höger del av kurvan så långt att rätt som du kan och föreställ dig vad som skulle hända om du fortsatte. Återigen verkar kurvan plana ut och närma sig y = 1, den här gången kommer upp från linjen. Denna funktion har en enda horisontell asymptot, y = 1. När du skisserar linjen (streckad i höger figur) blir det tydligt att vi har hittat rätt horisontell asymptot.

Hitta horisontella asymptoter analytiskt

Vad händer om du inte får ett diagram? I många fall är det faktiskt ganska enkelt att bestämma den horisontella asymptoten, om någon finns. Det finns bara några regler att följa.

Rationella funktioner

Analys av högsta ordningsterm

För att göra högsta ordningsanalys på en rationell funktion, se till att övre och nedre polynom utvidgas helt och skriv sedan en ny funktion som bara har den högsta ordningsperioden uppifrån och nedifrån. Alla andra villkor (lägre ordningsvillkor) kan säkert ignoreras. Avbryt alla vanliga faktorer och variabler och:

• Om resultatet är konstant k är y = k den enda horisontella asymptoten. Detta händer när graden av toppen matchar graden av botten.

• Om resultatet har några krafter på x kvar överst, finns det ingen horisontell asymptot.

• Om resultatet har några krafter på x kvar på botten, är y = 0 den enda horisontella asymptoten.

Exempel på högsta ordningsanalys

Låt oss använda analys av termens högsta ordning för att hitta de horisontella asymptoterna för följande funktioner.

(c) Den här gången finns det inga horisontella asymptoter eftersom (x4) / (x3) = x / 1, vilket lämnar ett x överst i bråk.

Exponentiella funktioner

Metoden för termanalys av högsta ordningen är snabb och enkel men gäller endast rationella funktioner. Vad händer om du får en annan typ av funktion? Vissa funktioner, som exponentiella funktioner, har alltid en horisontell asymptot. En funktion av formen f (x) = a (bx) + c har alltid en horisontell asymptot vid y = c. Till exempel är den horisontella asymptoten på y = 30e – 6x – 4: y = -4 och den horisontella asymptoten på y = 5 (2x) är y = 0.

Horisontella asymptoter i allmänhet?

Mer allmänna funktioner kan vara svårare att knäcka. Kom dock ihåg att en horisontell asymptot är tekniskt begränsade (som x → ∞ eller x → -∞). Därför mäter de funktionens slutbeteende.Om du arbetar med en del av provet som tillåter en grafkalkylator, kan du helt enkelt grava funktionen och spåra den till höger och vänster tills du kan avgöra om värdena planar ut i någon riktning.

Slutsats

Problem med horisontella asymptoter är vanligtvis inte så svåra. Vet hur man tittar på diagrammet, eller om ett diagram inte ges, vet sedan hur man analyserar funktionen (högsta ordningsanalys för rationella funktioner, den speciella regeln för exponentiella funktioner, eller när allt annat misslyckas, prova grafer).