Wie finden Sie die horizontalen Asymptoten einer Funktion?

Probleme mit horizontalen Asymptoten treten sowohl bei der AP Calculus AB- als auch bei der BC-Prüfung auf, und es ist wichtig zu wissen, wie horizontale Asymptoten beide grafisch gefunden werden (aus dem Diagramm selbst) und analytisch (aus der Gleichung für eine Funktion).

Bevor wir uns mit dem Finden der Asymptoten befassen, sehen wir besser, was genau eine Asymptote ist.

Definition von Horizontale Asymptote

Eine horizontale Asymptote für eine Funktion ist eine horizontale Linie, der sich der Graph der Funktion nähert, wenn sich x ∞ (unendlich) oder -∞ (minus unendlich) nähert. Mit anderen Worten, wenn y = k eine horizontale Asymptote für die Funktion y = f (x) ist, kommen die Werte (y-Koordinaten) von f (x) immer näher an k heran, wenn Sie die Kurve nach rechts verfolgen ( x → ∞) oder links (x → -∞).

Die Grenzwertdefinition für horizontale Asymptoten

Da Asymptoten auf diese Weise definiert sind, sollte dies nicht überraschen Grenzen tauchen auf. Die genaue Definition einer horizontalen Asymptote lautet wie folgt: Wir sagen, dass y = k eine horizontale Asymptote für die Funktion y = f (x) ist, wenn eine der beiden Grenzanweisungen wahr ist:

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Horizontale Asymptoten grafisch finden

Wenn ein Diagramm angegeben ist, schauen Sie einfach die linke Seite und die rechte Seite. Wenn sich die Kurve abflacht, suchen Sie einfach die y-Koordinate, der sich die Kurve zu nähern scheint. Es ist hilfreich, eine horizontale Linie in der Höhe zu skizzieren, in der sich die Asymptote befinden sollte. Wie das geht, sehen wir uns im nächsten Beispiel an. Beachten Sie, dass Ihnen normalerweise keine gestrichelte Linie angezeigt wird – dies würde das Problem viel zu einfach machen!

Die Die Grafik links zeigt eine typische Funktion. Wenn Sie dem linken Teil der Kurve so weit wie möglich nach links folgen, wo landen Sie dann? Mit anderen Worten, wie lautet die y-Koordinate des am weitesten links stehenden Punkts in der Grafik? Eine gute Schätzung könnte irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, vielleicht etwas näher an 1.

Stellen Sie sich vor, was passieren würde, wenn Sie das Diagramm links von dem, was angezeigt wird, weiter zeichnen würden. Es erscheint vernünftig, dass sich die Kurve abflacht und sich einem Wert von 1 nähert, wobei die horizontale Linie y = 1 genau wie bei einer Flugzeuglandung sanft berührt wird.

Folgen Sie in ähnlicher Weise dem rechten Teil der Kurve bis das Recht wie du kannst, und stell dir vor, was passieren würde, wenn du weitermachen würdest. Wieder scheint sich die Kurve zu glätten und sich y = 1 zu nähern, diesmal von unterhalb der Linie. Diese Funktion hat eine einzelne horizontale Asymptote, y = 1. Sobald Sie die Linie skizzieren (gestrichelt in der rechten Abbildung), wird deutlich, dass wir die richtige horizontale Asymptote gefunden haben.

Horizontale Asymptoten analytisch finden

Was ist, wenn Sie keine Grafik erhalten? In vielen Fällen ist es tatsächlich recht einfach, die horizontale (n) Asymptote (n) zu bestimmen, falls vorhanden. Es müssen nur einige Regeln befolgt werden.

Rationale Funktionen

Termanalyse höchster Ordnung

Um eine Termanalyse höchster Ordnung für eine rationale Funktion durchzuführen, stellen Sie sicher, dass die Die oberen und unteren Polynome werden vollständig erweitert und schreiben dann eine neue Funktion mit nur dem Term höchster Ordnung von oben und von unten. Alle anderen Begriffe (Begriffe niedrigerer Ordnung) können ignoriert werden. Löschen Sie alle gemeinsamen Faktoren und Variablen und:

• enn das Ergebnis eine Konstante k ist, dann ist y = k die einzelne horizontale Asymptote. Dies geschieht, wenn der Grad der Oberseite mit dem Grad der Unterseite übereinstimmt.

• Wenn das Ergebnis oben noch Potenzen von x übrig hat, gibt es keine horizontale Asymptote.

• Wenn das Ergebnis unten noch Potenzen von x übrig hat, ist y = 0 die einzelne horizontale Asymptote.

Beispiele für die Termanalyse höchster Ordnung

Verwenden wir die Termanalyse höchster Ordnung, um die horizontalen Asymptoten der folgenden Funktionen zu ermitteln.

(c) Dieses Mal gibt es keine horizontalen Asymptoten, da (x4) / (x3) = x / 1 ist und ein x oben auf dem Bruch verbleibt.

Exponentialfunktionen

Die Methode der Termanalyse höchster Ordnung ist schnell und einfach, gilt jedoch nur für rationale Funktionen. Was ist, wenn Sie eine andere Funktion erhalten? Bestimmte Funktionen, wie beispielsweise Exponentialfunktionen, haben immer eine horizontale Asymptote. Eine Funktion der Form f (x) = a (bx) + c hat bei y = c immer eine horizontale Asymptote. Zum Beispiel ist die horizontale Asymptote von y = 30e – 6x – 4: y = -4 und die horizontale Asymptote von y = 5 (2x) ist y = 0.

Horizontale Asymptoten im Allgemeinen?

Allgemeinere Funktionen sind möglicherweise schwerer zu knacken. Denken Sie jedoch daran, dass eine horizontale Asymptote technisch begrenzt ist (als x → → oder x → -∞). Daher messen sie das Endverhalten der Funktion.Wenn Sie an einem Abschnitt der Prüfung arbeiten, der einen Grafikrechner ermöglicht, können Sie die Funktion einfach grafisch darstellen und nach rechts und links verfolgen, bis Sie feststellen können, ob sich die Werte in beide Richtungen abschwächen.

Schlussfolgerung

Probleme mit horizontalen Asymptoten sind normalerweise nicht allzu schwierig. Wissen, wie man das Diagramm betrachtet, oder wenn kein Diagramm angegeben ist, dann wissen, wie man die Funktion analysiert (Termanalyse höchster Ordnung für rationale Funktionen, die Sonderregel für Exponentialfunktionen, oder wenn alles andere fehlschlägt, versuchen Sie es mit einem Diagramm).