Hvordan finder du de vandrette asymptoter til en funktion?

Problemer med vandrette asymptoter vises både på AP Calculus AB og BC-eksamen, og det er vigtigt at vide, hvordan man finder vandrette asymptoter begge grafisk (fra selve grafen) og analytisk (fra ligningen for en funktion).

Før vi går i dybden med at finde asymptoter, kan vi bedre se, hvad en asymptote er.

Definition af Vandret asymptote

En vandret asymptote for en funktion er en vandret linje, hvor grafen for funktionen nærmer sig, når x nærmer sig ∞ (uendelig) eller -∞ (minus uendelig). Med andre ord, hvis y = k er en vandret asymptote for funktionen y = f (x), så kommer værdierne (y-koordinaterne) af f (x) tættere og tættere på k, når du sporer kurven til højre ( x → ∞) eller til venstre (x → -∞).

Begrænsningsdefinitionen for vandrette asymptoter

Da asymptoter defineres på denne måde, bør det ikke komme som nogen overraskelse, at grænser ser ud. Den nøjagtige definition af en vandret asymptote går som følger: Vi siger, at y = k er en vandret asymptote for funktionen y = f (x), hvis en af de to grænsesætninger er sande:

.

Findning af vandrette asymptoter grafisk

Hvis der vises en graf, skal du blot se på venstre og højre side. Hvis det ser ud til, at kurven nivellerer, skal du bare finde den y-koordinat, som kurven ser ud til at nærme sig. Det hjælper med at tegne en vandret linje i den højde, hvor du mener, at asymptoten skal være. Lad os se, hvordan dette fungerer i det næste eksempel. Husk, at du typisk ikke får vist den stiplede linje – det ville gøre problemet alt for let!

graf til venstre viser en typisk funktion. Hvis du følger den venstre del af kurven så langt til venstre som muligt, hvor ender du så? Med andre ord, hvad er y-koordinaten for det punkt, der er længst til venstre, vist i grafen? Et godt skøn kan være et sted mellem 1 og 2, måske lidt tættere på 1.

Forestil dig hvad der ville ske, hvis du fortsatte med at tegne grafen til venstre for det, der vises. Det forekommer rimeligt, at kurven nivellerer og nærmer sig en værdi på 1 og rører forsigtigt ned på den vandrette linje y = 1 ligesom et fly lander.

Følg også den højre del af kurven så langt til ret som du kan, og forestil dig, hvad der ville ske, hvis du fortsatte. Igen ser kurven ud til at udjævne sig og nærme sig y = 1, denne gang kommer nedenfra linjen. Denne funktion har en enkelt vandret asymptote, y = 1. Når du tegner linjen (stiplet i højre figur), bliver det klart, at vi har fundet den korrekte vandrette asymptote.

Findning af vandrette asymptoter analytisk

Hvad hvis du ikke får en graf? Nå i mange tilfælde er det faktisk ret let at bestemme den vandrette asymptote (r), hvis der findes nogen. Der er blot et par regler, der skal følges.

Rationelle funktioner

Analyse af højeste ordeterminal

For at udføre termanalyse af højeste orden på en rationel funktion skal du sørge for at øverste og nederste polynomer udvides fuldt ud, og skriv derefter en ny funktion, der kun har ordet med den højeste ordre fra toppen og fra bunden. Alle andre vilkår (vilkår med lavere ordre) kan sikkert ignoreres. Annuller alle almindelige faktorer og variabler, og:

• Hvis resultatet er en konstant k, er y = k den eneste vandrette asymptote. Dette sker, når graden af toppen svarer til graden af bunden.

• Hvis resultatet har nogen kræfter på x tilbage på toppen, er der ingen vandret asymptote.

• Hvis resultatet har nogen kræfter på x tilbage på bunden, er y = 0 den eneste vandrette asymptote.

Eksempler på analyse af højeste ordbegrænsning

Lad os bruge termanalyse med højeste ordre til at finde de vandrette asymptoter til følgende funktioner.

(c) Denne gang er der ingen vandrette asymptoter, fordi (x4) / (x3) = x / 1, hvilket efterlader et x øverst på brøken.

Eksponentielle funktioner

Metoden til analyse af højeste ordsbetegnelse er hurtig og nem, men gælder kun for rationelle funktioner. Hvad hvis du får en anden slags funktion? Visse funktioner, såsom eksponentielle funktioner, har altid en vandret asymptote. En funktion af formen f (x) = a (bx) + c har altid en vandret asymptote ved y = c. For eksempel er den vandrette asymptote af y = 30e – 6x – 4: y = -4, og den vandrette asymptote af y = 5 (2x) er y = 0.

Horisontale asymptoter generelt?

Mere generelle funktioner kan være sværere at knække. Husk dog bare, at en vandret asymptote er teknisk begrænsede (som x → ∞ eller x → -∞). Derfor måler de funktionens slutadfærd.Hvis du arbejder på et afsnit af eksamenen, der tillader en grafregner, kan du ganske enkelt grafere funktionen og spore den til højre og venstre, indtil du kan bestemme, om værdierne udjævner i begge retninger.

Konklusion

Problemer med vandrette asymptoter er normalt ikke for vanskelige. Ved, hvordan man ser på grafen, eller hvis der ikke er en graf, ved derefter, hvordan man analyserer funktionen (højeste ordsanalyse for rationelle funktioner, den særlige regel for eksponentielle funktioner, eller hvis alt andet fejler, prøv at tegne graf).