¿Cómo se encuentran las asíntotas horizontales de una función?

Los problemas relacionados con las asíntotas horizontales aparecen tanto en el examen AP Cálculo AB como en el BC, y es importante saber cómo encontrar asíntotas horizontales gráficamente (del gráfico en sí) y analíticamente (de la ecuación de una función).

Antes de profundizar en la búsqueda de las asíntotas, es mejor que veamos qué es exactamente una asíntota.

Definición de Asíntota horizontal

Una asíntota horizontal para una función es una línea horizontal a la que se aproxima la gráfica de la función cuando x se acerca a ∞ (infinito) o -∞ (menos infinito). En otras palabras, si y = k es una asíntota horizontal para la función y = f (x), entonces los valores (coordenadas y) de f (x) se acercan cada vez más a k a medida que traza la curva hacia la derecha ( x → ∞) oa la izquierda (x → -∞).

La definición de límite para asíntotas horizontales

Dado que las asíntotas se definen de esta manera, no debería sorprendernos que los límites hacen acto de presencia. La definición precisa de una asíntota horizontal es la siguiente: Decimos que y = k es una asíntota horizontal para la función y = f (x) si cualquiera de los dos enunciados límite es verdadero:

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Encontrar asíntotas horizontales gráficamente

Si se da un gráfico, simplemente mire el lado izquierdo y el lado derecho. Si parece que la curva se nivela, simplemente ubique la coordenada y a la que parece acercarse la curva. Es útil dibujar una línea horizontal a la altura donde cree que debería estar la asíntota. Veamos cómo funciona esto en el siguiente ejemplo. Tenga en cuenta que, por lo general, no se le mostrará la línea discontinua, ¡eso haría que el problema fuera demasiado fácil!

El El gráfico de la izquierda muestra una función típica. Si sigues la parte izquierda de la curva lo más hacia la izquierda que puedas, ¿dónde terminas? En otras palabras, ¿cuál es la coordenada y del punto más a la izquierda que se muestra en la gráfica? Una buena estimación podría estar entre 1 y 2, quizás un poco más cerca de 1.

Bien, imagine lo que sucedería si continuara dibujando el gráfico a la izquierda de lo que se muestra. Parece razonable que la curva se nivele y se acerque a un valor de 1, tocando suavemente la línea horizontal y = 1 al igual que el aterrizaje de un avión.

De manera similar, siga la parte derecha de la curva hasta lo mejor que puedas, e imagina lo que pasaría si continuaras. Nuevamente, la curva parece estabilizarse y acercarse a y = 1, esta vez subiendo desde debajo de la línea. Esta función tiene una sola asíntota horizontal, y = 1. Una vez que dibujas la línea (discontinua en la figura de la derecha), queda claro que hemos encontrado la asíntota horizontal correcta.

Encontrar asíntotas horizontales analíticamente

¿Qué pasa si no le dan un gráfico? Bueno, en muchos casos es bastante fácil determinar la (s) asíntota (s) horizontal (s), si existe alguna. Solo hay algunas reglas a seguir.

Funciones racionales

Análisis de términos de orden más alto

Para hacer un análisis de términos de orden más alto en una función racional, asegúrese de los polinomios superior e inferior se expanden por completo y luego escriben una nueva función que tenga solo el término de orden más alto desde arriba y desde abajo. Todos los demás términos (términos de orden inferior) se pueden ignorar con seguridad. Cancele cualquier factor y variable común y:

• Si el resultado es una constante k, entonces y = k es la asíntota horizontal única. Esto sucede cuando el grado de la parte superior coincide con el grado de la parte inferior.

• Si el resultado tiene potencias de x en la parte superior, entonces no hay asíntota horizontal.

• Si el resultado tiene potencias de x en la parte inferior, entonces y = 0 es la asíntota horizontal única.

Ejemplos para análisis de términos de orden superior

Usemos el análisis de términos de orden superior para encontrar las asíntotas horizontales de las siguientes funciones.

(c) Esta vez, no hay asíntotas horizontales porque (x4) / (x3) = x / 1, dejando una x en la parte superior de la fracción.

Funciones exponenciales

El método de análisis de términos de orden más alto es rápido y fácil, pero solo se aplica a funciones racionales. ¿Qué pasa si se le asigna un tipo de función diferente? Ciertas funciones, como las funciones exponenciales, siempre tienen una asíntota horizontal. Una función de la forma f (x) = a (bx) + c siempre tiene una asíntota horizontal en y = c. Por ejemplo, la asíntota horizontal de y = 30e – 6x – 4 es: y = -4, y la asíntota horizontal de y = 5 (2x) es y = 0.

¿Asíntotas horizontales en general?

Las funciones más generales pueden ser más difíciles de descifrar. Sin embargo, recuerde que una asíntota horizontal son técnicamente límites (como x → ∞ ox → -∞). Por tanto, miden el comportamiento final de la función.Si está trabajando en una sección del examen que permite una calculadora gráfica, puede simplemente graficar la función y trazarla hacia la derecha y hacia la izquierda hasta que pueda determinar si los valores se nivelan en cualquier dirección.

Conclusión

Los problemas con las asíntotas horizontales no suelen ser demasiado difíciles. Sepa cómo mirar el gráfico, o si no se da un gráfico, entonces sepa cómo analizar la función (análisis de términos de orden más alto para funciones racionales, la regla especial para funciones exponenciales, o cuando todo lo demás falla, intente graficar).