Felejts el mindent, amit a számokról tudsz.
Valójában felejtsd el, hogy tudod is, mi a szám.
Ez itt kezdődik a matematika.
A számokkal való matematika helyett most a matematikára fogunk gondolni “dolgokkal”.
Definíció
egy sor? Nos, egyszerűen fogalmazva, ez egy gyűjtemény.
Először meghatározunk egy közös tulajdonságot a “dolgok” között (ezt a szót később definiáljuk), majd összegyűjtjük az összes “dolgot”, amely rendelkezik ezzel a közös tulajdonsággal.
Például a viselt cikkek: kalap, ing, kabát, nadrág , és így tovább.
Biztos vagyok benne, hogy elő tudna állítani legalább százat.
Ez halmazként ismert.
|
Vagy egy másik példa az ujjatípusok. Ez a készlet indexet, középsőt, gyűrűt tartalmaz és rózsaszínű. |
 |
Tehát csak egy bizonyos tulajdonsággal közös dolgok vannak.
Jelölés
Van a halmazok meglehetősen egyszerű jelölése. Egyszerűen vesszővel elválasztva soroljuk fel az egyes elemeket (vagy “tagokat”), majd néhány göndör zárójelet teszünk az egész köré:
A göndör zárójeleket {} néha “beállított zárójeleknek” vagy “zárójeleknek” nevezik.
Ez a két előző példa jelölése:
{zokni, cipő, karóra, ing, …}
{index, középső, gyűrű, rózsaszínű}
Figyelje meg, hogy az első példában szerepel a “…” (három pont együtt) .
A három pontot … ellipszisnek hívják, és jelentése: “folytassa tovább”.
Tehát ez azt jelenti, hogy az első példa folytatódik .. . a végtelenségig.
(Rendben, valójában nincs végtelen mennyiségű ruhadarab, amit viselhetnél, de ebben nem vagyok teljesen biztos! Egy óra gondolkodás után különböző dolgokon még mindig nem biztos. Tehát mondjuk csak, hogy ennek a példának a végtelenje van.)
Tehát:
De néha a “…” karaktert középen lehet használni a mentéshez hosszú listák írása:
Példa: a betűk:
{a, b, c, .. ., x, y, z}
Ebben az esetben ez egy véges halmaz (csak 26 betű van, igaz?)
Numerikus halmazok
Mi köze ennek a matematikához? Ha meghatározunk egy halmazt, akkor csak egy közös jellemzőt kell megadnunk. Ki mondja, hogy “nem tehetjük meg ezt számokkal?
És így tovább. Mindenféle halmazt elő tudunk állítani.
Meghatározhatunk egy halmazt is a tulajdonságai alapján, mint például az {x | x > 0}, amely “az összes x” halmazát jelenti, úgy, hogy x nagyobb, mint 0 “, a további tudnivalókért lásd a Készlet-készítő jelölését.
És vannak olyan számkészleteink, amelyeknek nincs közös tulajdonsága, ezeket csak így definiálják. Például:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203 }
Az összes készlet, amelyet csak véletlenszerűen csapkodtam be a billentyűzetemre.
Miért fontosak a készletek?
A halmazok a matematika alapvető tulajdonsága. Figyelmeztetésként a készletek önmagukban meglehetősen értelmetlenek. De csak akkor, ha halmazokat alkalmazunk különböző helyzetekben, a matematika erőteljes építőelemévé válnak.
A matematika meglehetősen gyorsan bonyolulttá válhat. Grafikonelmélet, Absztrakt algebra, Valódi elemzés, Komplex Az elemzés, a lineáris algebra, a számelmélet és a lista folytatódik. De van egy dolog, amely mindezen közös: halmazok.
Univerzális készlet
 |
Az elején idézőjelben használtuk a “dolgok” szót. Ezt univerzális halmaznak hívjuk. Ez egy olyan készlet, amely mindent tartalmaz. Nos, nem egészen minden. Minden, ami a kérdésünk szempontjából releváns. |
|
 |
A számelméletben az univerzális halmaz egész szám, mivel a számelmélet egyszerűen a egész számok tanulmányozása. |
|
 |
De a Számításban (más néven valós elemzésként) az univerzális halmaz szinte mindig a valós szám. |
|
 |
És a komplex elemzés során kitalálta, hogy az univerzális halmaz a komplex számok. / div> |
További jelölések
 |
Ha halmazokról beszélünk, meglehetősen szabványos a nagybetűket használni a halmaz és a kisbetűket egy elem abban a halmazban. Tehát például A halmaz, a pedig eleme nt A-ban. Ugyanaz B és b, valamint C és c. |
Most nem kell hallgatnia a szabványt , olyasmit használhat, mint m, egy halmaz reprezentálásához matematikai törvények megsértése nélkül (vigyázzon, 0-val való osztás esetén π évet kaphat a matematikai börtönben), de ez a jelölés nagyon szép és könnyen követhető, miért ne?
Ha azt mondjuk, hogy az a elem egy A halmazban van, akkor a 
szimbólumot használjuk annak megjelenítésére.
És ha valami nincs a set use 
.
Példa: Az A halmaz {1,2,3}. Láthatjuk, hogy 1 A, de 5 A
Egyenlőség
Két halmaz egyenlő, ha pontosan megvan a ugyanazok a tagok. Most első ránézésre nem tűnhetnek egyenlőnek, ezért alaposan meg kell vizsgálnunk őket!
Példa: A és B egyenlőek-e ott:
- A az a halmaz, amelynek tagjai az első négy pozitív egész szám
- B = {4, 2, 1, 3}
Ellenőrizzük. Mindkettő tartalmaz 1-et. Mindkettő tartalmaz 2-t, 3-at és 4-et. És mindkét halmaz minden elemét megvizsgáltuk, így: Igen, egyenlőek!
És az egyenlőségjel ( = = az egyenlőség bemutatására szolgál, ezért ezt írjuk:
A = B
Részhalmazok
Ha meghatározunk egy halmazt, ha darabokat veszünk a halmazból, kialakíthatjuk az úgynevezett részhalmazt.
Általában:
Az A csak akkor része a B részhalmazának, ha A minden eleme B-ben található.
Tehát használjuk ezt a definíciót néhány példában.
Próbálkozzunk egy nehezebb példával.
Megfelelő alhalmazok
Ha megnézzük az alhalmazok definiálását és hagyjuk, hogy elménk egy kicsit elkalandozzon, akkor furcsa dologhoz jutunk következtetés.
Legyen A halmaz. Az A minden eleme A-ban van?
Nos, hm, természetesen, igaz, igaz?
Ez azt jelenti, hogy A A részhalmaza. Ez önmagának részhalmaza!
Ez nem tűnik túl helyesnek, ugye? Ha azt akarjuk, hogy az alhalmazaink megfelelőek legyenek, bevezetjük (mi mást, csak) a megfelelő részhalmazokat:
A A megfelelő alcsoportja akkor és csak akkor, ha Az A eleme szintén a B-ben van, és legalább egy olyan elem létezik B-ben, amely nincs A-ban.
Ez a kis darab a végén ott van, hogy megbizonyosodjon arról, hogy A nem egy önmagának megfelelő részhalmaza: azt mondjuk, hogy B-nek legalább egy extra elemnek kell lennie.
Példa:
{1, 2, 3} a {1, 2, 3}, de nem az {1, 2, 3} megfelelő részhalmaza.
Példa:
{1, 2, 3} az {1, 2, 3, 4} megfelelő részhalmaza, mert a 4 elem nem az első halmazban található.
Vegye figyelembe, hogy ha A megfelelő B részhalmaz, akkor az is a B részhalmaza.
Még több jelölés
Ha azt mondjuk, hogy A B részhalmaza, akkor A 
B.
Vagy mi mondhatja, hogy A nem B részhalmaza A 
B által (“A nem a B részhalmaza”)
Ha megfelelő részhalmazokról beszélünk, kivesszük az alatta levő sort, így lesz belőle A 
B, vagy ha ennek ellenkezőjét akarjuk mondani, A 
B.
Üres (vagy Null) halmaz
Ez valószínűleg a legfurább dolog a halmazoknál.
Példaként gondoljon a gitár zongorabillentyűire.
“De várjon!” azt mondja: “Nincsenek zongorabillentyűk egy gitár! “
És igazad van. Ez egy elem nélküli készlet.
Ez az Üres készlet (vagy Null készlet) néven ismert. Nincs benne elem. Nem egy. Nulla.
Ez 
Vagy {} (elem nélküli halmaz)
Néhány további példa az üres halmazra a halmaz a déli pólustól délre fekvő országokban.
Mi van ilyen furcsa az üres készletben? Nos, ez a rész következik.
Üres halmaz és részhalmazok
Térjünk vissza az alhalmazok definíciójához. Van egy A készletünk. Ezt nem definiáljuk annál több, ez bármilyen készlet lehet. Az üres halmaz az A részhalmaza?
Visszatérve a részhalmazok definíciójához, ha az üres halmaz minden eleme szintén A-ban van, akkor az üres halmaz A. részhalmaza. De mi van, ha mi nincsenek elemei?
Ennek megértéséhez bevezetés szükséges a logikába, de ez az állítás olyan, amely “vacuálisan” vagy “triviálisan” igaz.
Jó gondolkodásmód ez: nem találunk olyan elemeket az üres halmazban, amelyek nem szerepelnek A-ban, tehát az üres halmaz összes elemének A-ban kell lennie.
Tehát a feltett kérdésre a válasz hangzatos igen.
Az üres halmaz minden halmaz részhalmaza, magában az üres halmazban is.
Sorrend
Nem, nem az elemek sorrendje. A halmazokban nem mindegy, hogy az elemek milyen sorrendben vannak.
Példa: {1,2,3,4} megegyezik a {3,1,4,2}
Ha sorrendet mondunk halmazokban, akkor a halmaz méretét értjük.
Ennek egy másik (jobb) neve a kardinalitás.
A véges halmaz véges sorrendű (vagy kardinális). Egy végtelen halmaz végtelen sorrendű (vagy kardinális).
A véges halmazok esetében a sorrend (vagy a számosság) az elemek száma.
Példa: {10, 20, 30, 40} 4-es sorrendben van.
Végtelen halmazok esetében csak annyit mondhatunk, hogy a sorrend végtelen. Furcsa módon halmazokkal azt mondhatjuk, hogy egyes végtelenségek nagyobbak, mint mások, de ez haladóbb téma halmazokban.
Arg! Nincs több jelölés!
Nem, csak vicceltem. Nincs több jelölés.
és