Hogyan lehet megtalálni egy függvény vízszintes tüneteit?

A vízszintes aszimptotákkal kapcsolatos problémák mind az AP Calculus AB, mind a BC vizsgán megjelennek, és fontos tudni, hogyan lehet grafikusan megtalálni a vízszintes aszimptotákat. (magából a grafikonból) és analitikusan (egy függvény egyenletéből).

Mielőtt elmélyülnénk az aszimptoták megtalálásában, bár jobban meglátjuk, mi is egy aszimptota.

Vízszintes aszimptóta

A függvény vízszintes aszimptotája olyan vízszintes vonal, amelyet a függvény grafikonja megközelít, amikor x megközelíti ∞ (végtelen) vagy -∞ (mínusz végtelen) értéket. Más szavakkal, ha y = k az y = f (x) függvény vízszintes aszimptotája, akkor az f (x) értékei (y-koordinátái) egyre közelebb kerülnek k-hoz, amikor a görbét jobbra nyomon követjük ( x → ∞) vagy balra (x → -∞).

A vízszintes aszimptoták határdefiníciója

Mivel az aszimptotákat így definiálják, nem meglepő, hogy határok látszanak. A horizontális aszimptóta pontos meghatározása a következőképpen alakul: Azt mondjuk, hogy y = k az y = f (x) függvény vízszintes aszimptotája, ha a két határérték bármelyike igaz:

.

Vízszintes aszimptoták grafikus megkeresése

Ha grafikon van megadva, akkor egyszerűen nézze meg a bal és a jobb oldal. Ha úgy tűnik, hogy a görbe kiegyenlítődik, akkor keresse meg azt az y-koordinátát, amelyhez a görbe közeledni látszik. Segít egy vízszintes vonal felvázolása abban a magasságban, ahol szerinted az aszimptotának lennie kell. Nézzük meg, hogyan működik ez a következő példában. Ne feledje, hogy általában nem jelenik meg a szaggatott vonal – ez túl egyszerűvé tenné a problémát!

A a bal oldali grafikon egy tipikus függvényt mutat. Ha a görbe bal részét minél balra követi, hova jut? Más szavakkal, mi a grafikonon látható bal szélső pont y-koordinátája? Egy jó becslés valahol 1 és 2 között lehet, talán valamivel közelebb az 1-hez.

Nos, képzelje el, mi történne, ha folytatná a grafikon ábrázolásának bal oldalán történő rajzolását. Ésszerűnek tűnik, hogy a görbe kiegyenlítődik és megközelíti az 1 értéket, finoman érintve le az y = 1 vízszintes vonalat, csakúgy, mint egy repülőgép leszáll.

Hasonlóképpen kövesse a görbe jobb oldali részét is amennyire csak lehet, és képzelje el, mi történne, ha tovább folytatná. Úgy tűnik, hogy a görbe ismét kiegyenlítődik és megközelíti az y = 1 értéket, ezúttal a vonal alól jön fel. Ennek a függvénynek egyetlen vízszintes aszimptotája van, y = 1. Miután felvázolta a vonalat (a jobb oldali ábrán szaggatottan), világossá válik, hogy megtaláltuk a helyes vízszintes aszimptotát.

Vízszintes aszimptoták analitikus keresése

Mi van, ha nem kap grafikont? Nos, sok esetben valóban könnyű meghatározni a vízszintes aszimptot (ok), ha vannak ilyenek. Csak néhány szabályt kell betartani.

Racionális függvények

Legmagasabb sorrendű kifejezés elemzése

A racionális függvény legmagasabb sorrendű kifejezés-elemzéséhez ellenőrizze, hogy a felső és az alsó polinom teljesen kibővült, majd írjon egy új függvényt, amelynek felülről és alulról csak a legmagasabb rendű kifejezés van. Minden más kifejezést (alacsonyabb rendű kifejezéseket) biztonságosan figyelmen kívül lehet hagyni. Törölje az összes gyakori tényezőt és változót, és:

• Ha az eredmény konstans k, akkor y = k az egyetlen vízszintes aszimptóta. Ez akkor történik, ha a teteje fokozata megegyezik az alsó fokozatával.

• Ha az eredménynek x-hatványai maradtak fent, akkor nincs vízszintes aszimptota.

• Ha az eredménynek x-hatványa maradt az alján, akkor y = 0 az egyetlen vízszintes aszimptóta.

Példák a legmagasabb sorrendű kifejezéselemzésre

Használjuk a legmagasabb sorrendű kifejezés-elemzést a következő függvények vízszintes aszimptotáinak megkeresésére.

(c) Ezúttal nincsenek vízszintes aszimptoták, mert (x4) / (x3) = x / 1, x-et hagyva a tört tetején.

Exponenciális függvények

A legmagasabb rendű kifejezéselemzés módszere gyors és egyszerű, de csak racionális függvényekre vonatkozik. Mi van, ha másfajta funkciót kap? Bizonyos függvényeknek, például az exponenciális függvényeknek, mindig vízszintes aszimptotája van. Az f (x) = a (bx) + c formájú függvénynek mindig vízszintes aszimptotája van y = c-nél. Például az y = 30e – 6x – 4 vízszintes aszimptotája: y = -4, az y = 5 (2x) vízszintes aszimptotája pedig y = 0.

Vízszintes aszimptoták általában?

Az általánosabb funkciókat nehezebben lehet feltörni. Ne feledje azonban, hogy a vízszintes aszimptóta technikailag korlátozott (mint x → ∞ vagy x → -∞). Ezért mérik a függvény végső viselkedését.Ha a vizsga azon részén dolgozik, amely lehetővé teszi a grafikus számológép használatát, akkor egyszerűen ábrázolhatja a függvényt, és nyomon követheti jobbra és balra, amíg meg nem tudja határozni, hogy az értékek mindkét irányban egyengetnek-e.

Következtetés

A vízszintes aszimptotákkal kapcsolatos problémák általában nem túl nehézek. Tudja, hogyan kell megnézni a gráfot, vagy ha egy grafikon nincs megadva, akkor tudnia kell a függvény elemzését (a racionális függvények legmagasabb sorrendű kifejezés-elemzése, az exponenciális függvények speciális szabálya, vagy ha minden más sikertelen, próbálja meg a grafikont). / p>