NCAA konzolos pontrendszerek

Bevezetés

A 2015-ös NCAA férfi kosárlabda bajnokságon megnyertem irodai készletünket azzal, hogy (1) akkor veretlenül választottam Kentucky veszíteni – bár korábban, mint a Wisconsin elleni utolsó négyes veszteség -, és (2) Duke-ot választotta a bajnoki mérkőzés megnyerésére. A hátulról érkező győzelem volt a konzolom számára, a 14. helyről a 7. helyre az 1. helyre léptem át… a 63 játékos verseny utolsó három meccsén.

De vajon nyertem volna? Medencénk a szokásos zárójeles pontrendszert használta a kiosztáshoz:

• 1 pont minden helyes választásért a 64 csapat első fordulójában,
• 2 pont minden helyes választásért a 32 csapat második fordulója,
• minden helyes választásért 4 pont a harmadik csapat 16 fordulójában,
• 8 pont minden helyes választásért a nyolc csapat negyedik fordulójában,
• 16 pont minden helyes kiválasztásért a Final Four két meccsén,
• 32 pont a bajnok helyes megválasztásáért.

Ez a “duplázó” rendszer több ésszerű matematikai motiváció. Például minden egyes játékfordulat potenciálisan ugyanannyi pontot ér (32). Továbbá, ha azt feltételezzük, hogy az összes csapat egyenletesen vagy egyenértékűen párosul, feltételezve, hogy az összes válogatást egy tisztességes játék megfordításával hajtja végre. érme – akkor a várt megszerzett pontok száma minden fordulóval pontosan a felére csökken.

De a csapatok nem egyenlőek, és nem érmék megfordításával válogatsz. Intuitívnak tűnik tehát mint ez Az ubling rendszer túlsúlyozhatja a későbbi fordulók fontosságát, és talán egy jobb rendszer magában foglalja a meccsenkénti pontok kevésbé szélsőséges növekedését egyik fordulóból a másikba. Az egyik mulatságosabb közös javaslat a Fibonacci-szekvencián alapuló haladás, minden körben 2, 3, 5, 8, 13 és 21 pontot érő játékokkal. Célom ebben a bejegyzésben egy eszköz leírása ezen és más zárójeles pontrendszerek pontosabb értékelésének és összehasonlításának.

Valószínűségi modell a bajnokság játékaihoz

Először is szükségünk van a modellezés módjára az adott játék helyes kiválasztásának valószínűsége. Ésszerűen egyszerű kiindulópont az a feltételezés, hogy minden játék független, az egyes eredmények valószínűsége csak a csapatok magjaitól függ. Pontosabban, legyen P egy 16 × 16 mátrix, amelynek bejegyzései

jelzik annak valószínűségét, hogy az i vetőmag megveri a j magot, hol van az i vetőmag “erősségének” bizonyos mértéke (csökken az i-ben), és k skálázási tényező, amely hatékonyan meghatározza a kapott valószínűségek tartományát. Például, ha, akkor minden játék egy érmefordulás; a másik végletnél, ha, akkor a 16. magnak nulla a valószínűsége annak, hogy az első kör felfordul az első mag ellen. Ehhez a megbeszéléshez k-t úgy választják meg, hogy

annak a megfigyelésnek az alapján, hogy az eddigi versenyformátum elmúlt 31 évének 124 mérkőzésén az 1. kiemelt eddig soha nem veszített a 16. helyről. mag. Ez a valószínűség a megfelelő béta-eloszlás várható értéke.

Egy évvel ezelőtt ennek a modellnek egy egyszerű változatát alkalmaztam egy “tökéletes zárójel”, vagyis az összes 63 kiválasztásának valószínűségének becslésére. játékokat helyesen, lineáris erősségfüggvény használatával:

ez csak a magok közötti különbségtől függ. Még ez a nagyon egyszerű modell sem túl rossz, amint azt a következő frissített ábra mutatja, a lineáris predikciós modell piros színnel, az elmúlt 31 év történelmi adatai pedig kék színnel, a megfelelő 95% -os konfidencia intervallumokkal feketével. Amint azt a gyakran nagyon széles konfidencia intervallumok sugallják, a 31 év még mindig nem sok adat; Például csak 7 egyezés történt a 10-es különbségű magok között: az 1. és a 11. rész 3-3, és egyetlen 2. helyezett nyert egy 12. helyett.

Szokás szerint kiderül, hogy ez nem egy új ötlet; Schwertman et. al. (lásd a hivatkozásokat a bejegyzés végén) ugyanezt a modellt tekintette még 1991-ben, valamint egy másik nemlineáris szilárdságfüggvényt, amely jobb történelmi illeszkedésnek bizonyul:

hol van a a normál eloszlás, és az I. osztályú férfi kosárlabda csapatok teljes száma. Az elképzelés az, hogy az összes csapat “erősségei” rendesen megoszlanak, és a verseny 64 csapata a “legerősebb” csapatokat foglalja magába ennek az elosztásnak a felső farkában. A beszélgetés további részében ezt az erősségfüggvényt fogom használni.

A helyes választások valószínűségének kiszámítása

Tekintettel a P valószínűség bármelyik M mátrixára, felhasználhatjuk az eredő eloszlás kiszámításához. a verseny bármelyik játékát megnyerő mag. Ha és 16 elemű oszlopvektorok, amelyek () jelzik annak valószínűségét, hogy a hazai (vendég) csapat egy adott játékban be van vetve i, akkor az adott játékot megnyerő mag eloszlását a következő adja meg:

az elemből álló Hadamard-termék.Az első körben mindegyik és egy alapvektor. Ne feledje, hogy mindkét kifejezés bekerülése az összegzésbe valójában csak számítási kényelem, legalábbis egy régión belül, mivel egy adott mag esetében a két kifejezés “megfelelő alkotóelemének” közül csak az egyik lesz nulla.

Ezt a képletet iteratívan alkalmazva az egyes egymást követő körök minden játékára, végül kiszámíthatjuk annak valószínűségét, hogy az egyes magok megnyerik az egyes meccseket a tornán. Például a következő Python-kód kiszámítja a négy regionális bajnokság bármelyikének győztesének megoszlását (egyenként 16 csapat között):

Az így megjósolt valószínűségeket a következő ábra piros színnel mutatja – a normál kvantilis erőfüggvény fent – összehasonlítva a tényleges kék frekvenciákkal.

Zárójeles pontrendszerek

Most, hogy lehetőségünk van kiszámítani annak valószínűségét, hogy egy adott csapat megnyerje az adott játékot, kiértékelhetjük a befejezett zárójelet úgy, hogy kiszámoljuk az egyes körökben a helyes választások várható számát. Tegyük fel például, hogy a konzolunk egyszerűen kiválasztja a kedvencet (vagyis a magasabb kiemeltet), hogy minden játékot megnyerjen. Ezután a helyes választások várható száma a következő lesz:

• Az első forduló 32 meccséből 23.156, a második fordulóban 16 meccsből 9.847.
• A harmadik forduló 8 meccséből 4,292,
• A negyedik forduló regionális bajnokságában 4 meccsből 1,792,
• A Final Four 2 játékából 0,540,
• 0,156 az utolsó bajnoki játékból.

Ezen a ponton összehasonlíthatjuk a különböző zárójeles pontrendszereket, összehasonlítva az egyes körökben várható pontszámokat az adott rendszerek használatával. Például az alábbi táblázat bemutatja a fordulónkénti várható pontokat az eddig említett két rendszer esetében: a duplázó rendszer (1, 2, 4, 8, 16, 32) és a Fibonacci rendszer (2, 3, 5, 8, 13) , 21), első fordulónként 1 pontra normalizálva.

Ezek vagy bármelyik másik rendszer közül melyik a „legjobb”, attól függ, hogy milyen készletet szeretne. A duplázó rendszerrel (vagy még nagyobb progresszióval) ), akkor lehet egy “izgalmas” lóverseny-medencéje, ahol az ólomváltások és a többszörös nevezés mind a hat fordulóban esélyes a győzelemre. A Fibonacci rendszerrel (vagy még fokozatosabb progresszióval) rendelkezhet egy olyan készlettel, amely jutalmazza a kutatásokat és a korai fordulóbeli zavarok pontos előrejelzését … de egy ilyen készlet jóval a Final Four előtt jócskán túl lehet.

Függelék: Történelmi adatok

Az alábbi mátrixok az összes győzelem és veszteség feljegyzését tartalmazzák a forduló és a kezdő mérkőzések szerinti bontásban a 31 versenyen, a jelenlegi formátumban 1985 és 2015 között. Először a következő 16 × A 16 mátrix a regionális játékok számát jelöli – vagyis az első – negyedik fordulóban – amelyekben a magot megvertem a j-vel. Ne feledje, hogy azt a kört, amelyben az egyes játékokat játszották, implicit módon meghatározza az alapmérkőzés is (például 1 és 16 az első körben stb.).

 0 21 13 32 30 6 4 51 56 4 3 19 4 0 0 124 21 0 23 2 0 23 53 2 0 26 12 1 0 0 117 0 8 14 0 2 2 38 7 1 1 9 25 0 0 104 1 0 15 4 3 0 36 2 2 3 2 2 0 21 99 0 0 0 7 3 1 30 0 1 0 0 1 1 0 80 11 0 0 0 2 6 28 1 0 0 3 0 0 4 81 0 0 13 0 0 0 20 5 2 0 3 0 0 0 76 0 0 0 1 2 0 12 3 0 5 2 1 1 0 63 0 0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 1 0 0 61 0 0 0 0 1 0 0 0 0 18 4 0 0 2 48 0 0 0 0 0 0 1 4 0 3 1 13 0 0 43 3 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0 0 12 44 0 0 1 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 25 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 20 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A következő mátrix ugyanabban a formátumban az ötödik forduló utolsó négy játékára vonatkozik:

 12 6 2 5 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 2 3 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 2 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

És végül a bajnoki mérkőzésekre: