A véletlenszerű változó egy statisztikai kísérlet eredményének numerikus leírása. Azt a véletlen változót, amely csak véges számot vagy végtelen értéket vehet fel, diszkrétnek mondunk; azt, amely a valós számegyenesen valamilyen intervallumban bármilyen értéket felvehet, folyamatosnak mondják. Például egy véletlen változó, amely az adott kereskedésben egy napon eladott autók számát reprezentálja, diszkrét, míg egy véletlen változó, amely egy személy súlyát kilogrammban (vagy fontban) képviseli, folyamatos lenne.
A véletlen változó valószínűségi eloszlása leírja, hogy a valószínűségek hogyan oszlanak meg a véletlen változó értékein. Diszkrét, véletlen változó, x esetén a valószínűségeloszlást egy valószínűségi tömegfüggvény határozza meg, amelyet f (x) jelöl. Ez a függvény megadja a véletlen változó minden egyes értékének valószínűségét. A diszkrét véletlen változó valószínűségi függvényének kidolgozása során két feltételnek kell teljesülnie: (1) f (x) nem negatívnak kell lennie a véletlen változó minden egyes értékére, és (2) a valószínűségek összegének az egyes a véletlen változónak egyenlőnek kell lennie.
A folytonos véletlen változó bármely értéket felvehet egy intervallumban a valós számegyenesen vagy intervallumok gyűjteményében. Mivel bármelyik intervallumban végtelen számú érték van, nem értelmes arról beszélni, hogy milyen valószínűséggel kap a véletlen változó egy adott értéket; ehelyett annak a valószínűségét vesszük figyelembe, hogy egy folytonos véletlen változó egy adott intervallumon belül fekszik.
Folyamatos esetben a valószínűségi tömegfüggvény megfelelője a valószínűségi sűrűségfüggvény, amelyet f (x) is jelöl. . Folyamatos véletlen változó esetén a valószínűségi sűrűségfüggvény megadja a függvény magasságát vagy értékét az x bármely meghatározott értékénél; közvetlenül nem adja meg annak valószínűségét, hogy a véletlen változó egy adott értéket vesz fel. Ugyanakkor az f (x) grafikon alatti, bizonyos intervallumnak megfelelő terület, amelyet az f (x) integráljának az adott intervallumon keresztül történő kiszámításával kapunk, megadja annak valószínűségét, hogy a változó értéket vesz fel ezen az intervallumon belül. A valószínűségi sűrűségfüggvénynek két követelménynek kell megfelelnie: (1) f (x) -nek nem negatívnak kell lennie a véletlen változó minden egyes értékénél, és (2) a véletlen változó minden értékére vonatkozó integrálnak meg kell egyeznie.
Egy véletlen változó várható értéke vagy átlaga – amelyet E (x) vagy μ jelöl – a súlyozott átlaga annak az értéknek, amelyet a véletlen változó feltételezhet. Diszkrét esetben a súlyokat a valószínűségi tömegfüggvény, a folytonos esetben pedig a valószínűségi sűrűségfüggvény adja. A diszkrét és folytonos véletlen változók várható értékeinek kiszámításához a képleteket a 2., illetve a 3. egyenlet adja.
E (x) = Σxf (x) (2)
E (x) = ∫xf (x) dx (3)
A Var (x) vagy σ2 jelöléssel ellátott véletlen változó varianciája az átlagtól való négyzeteltérés súlyozott átlaga. Diszkrét esetben a súlyokat a valószínűségi tömegfüggvény, a folytonos esetben pedig a valószínűségi sűrűségfüggvény adja. A diszkrét és folytonos véletlen változók varianciáinak kiszámítására szolgáló képleteket a 4., illetve az 5. egyenlet adja meg. A szórás, amelyet σ jelöl, a variancia pozitív négyzetgyöke. Mivel a szórást a véletlen változóval megegyező egységekben, a varianciát pedig négyzetegységekben mérjük, a szórás gyakran az előnyös mérték.
Var (x) = σ2 = Σ (x – μ) 2f (x) (4)
Var (x) = σ2 = ∫ (x – μ) 2f (x) dx (5)