Come trovi gli asintoti orizzontali di una funzione?

I problemi riguardanti gli asintoti orizzontali compaiono sia nell’esame AP Calculus AB che in quello BC, ed è importante sapere come trovare gli asintoti orizzontali sia graficamente (dal grafico stesso) e analiticamente (dall’equazione di una funzione).

Prima di addentrarci nella ricerca degli asintoti, però, è meglio vedere cos’è esattamente un asintoto.

Definizione di Asintoto orizzontale

Un asintoto orizzontale per una funzione è una linea orizzontale a cui il grafico della funzione si avvicina quando x si avvicina a ∞ (infinito) o -∞ (meno infinito). In altre parole, se y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x), i valori (coordinate y) di f (x) si avvicinano sempre di più a k mentre si traccia la curva a destra ( x → ∞) oa sinistra (x → -∞).

La definizione del limite per gli asintoti orizzontali

Poiché gli asintoti sono definiti in questo modo, non dovrebbe sorprendere che i limiti fanno la loro comparsa. La definizione precisa di un asintoto orizzontale è la seguente: diciamo che y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se una delle due affermazioni limite è vera:

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Trovare graficamente asintoti orizzontali

Se viene fornito un grafico, guarda semplicemente il lato sinistro e il lato destro. Se sembra che la curva si stabilizzi, individuare la coordinata y alla quale la curva sembra avvicinarsi. Aiuta a tracciare una linea orizzontale all’altezza dove pensi che dovrebbe essere l’asintoto. Vediamo come funziona nel prossimo esempio. Tieni presente che in genere non ti verrà mostrata la linea tratteggiata: ciò renderebbe il problema troppo facile!

Il il grafico a sinistra mostra una funzione tipica. Se segui la parte sinistra della curva il più a sinistra possibile, dove finisci? In altre parole, qual è la coordinata y del punto più a sinistra mostrato nel grafico? Una buona stima potrebbe essere da qualche parte tra 1 e 2, forse un po ‘più vicino a 1.

Bene immagina cosa accadrebbe se continuassi a disegnare il grafico a sinistra di ciò che viene mostrato. Sembra ragionevole che la curva si stabilizzi e si avvicini a un valore di 1, toccando delicatamente la linea orizzontale y = 1 proprio come l’atterraggio di un aeroplano.

Allo stesso modo, segui la parte destra della curva fino a il diritto che puoi, e immagina cosa succederebbe se continuassi. Ancora una volta, la curva sembra stabilizzarsi e avvicinarsi a y = 1, questa volta risalendo da sotto la linea. Questa funzione ha un singolo asintoto orizzontale, y = 1. Una volta tracciata la linea (tratteggiata nella figura a destra), diventa chiaro che abbiamo trovato l’asintoto orizzontale corretto.

Trovare asintoti orizzontali analiticamente

E se non ti viene fornito un grafico? Ebbene, in molti casi è abbastanza facile determinare l’asintoto o gli asintoti orizzontali, se esistono. Ci sono solo alcune regole da seguire.

Funzioni razionali

Analisi dei termini di ordine più elevato

Per eseguire l’analisi dei termini di ordine più elevato su una funzione razionale, assicurarsi che il i polinomi superiore e inferiore sono completamente espansi e quindi scrivere una nuova funzione avente solo il termine di ordine più alto dall’alto e dal basso. Tutti gli altri termini (termini di ordine inferiore) possono essere tranquillamente ignorati. Annulla tutti i fattori e le variabili comuni e:

• Se il risultato è una costante k, allora y = k è il singolo asintoto orizzontale. Ciò accade quando il grado della parte superiore corrisponde al grado della parte inferiore.

• Se il risultato ha delle potenze di x rimaste in alto, allora non c’è asintoto orizzontale.

• Se il risultato ha delle potenze di x rimaste in basso, allora y = 0 è il singolo asintoto orizzontale.

Esempi di analisi dei termini di ordine più elevato

Usiamo l’analisi dei termini di ordine più elevato per trovare gli asintoti orizzontali delle seguenti funzioni.

(c) Questa volta, non ci sono asintoti orizzontali perché (x4) / (x3) = x / 1, lasciando una x sopra la frazione.

Funzioni esponenziali

Il metodo di analisi dei termini di ordine più elevato è rapido e semplice, ma si applica solo alle funzioni razionali. E se ti viene assegnato un diverso tipo di funzione? Alcune funzioni, come le funzioni esponenziali, hanno sempre un asintoto orizzontale. Una funzione della forma f (x) = a (bx) + c ha sempre un asintoto orizzontale in y = c. Ad esempio, l’asintoto orizzontale di y = 30e – 6x – 4 è: y = -4 e l’asintoto orizzontale di y = 5 (2x) è y = 0.

Asintoti orizzontali in generale?

Funzioni più generali potrebbero essere più difficili da decifrare. Tuttavia, ricorda solo che un asintoto orizzontale è tecnicamente dei limiti (come x → ∞ o x → -∞). Pertanto, misurano il comportamento finale della funzione.Se stai lavorando su una sezione dell’esame che consente l’uso di una calcolatrice grafica, puoi semplicemente rappresentare graficamente la funzione e tracciarla a destra ea sinistra finché non puoi determinare se i valori si stabilizzano in entrambe le direzioni.

Conclusione

I problemi relativi agli asintoti orizzontali di solito non sono troppo difficili. Sapere come guardare il grafico, o se non viene fornito un grafico, quindi sapere come analizzare la funzione (analisi dei termini di ordine più alto per le funzioni razionali, la regola speciale per le funzioni esponenziali, o quando tutto il resto fallisce, prova a rappresentare graficamente).