Dimentica tutto quello che sai sui numeri.
In effetti, dimentica persino di sapere cos’è un numero.
Questo è dove inizia la matematica.
Invece di matematica con numeri, ora penseremo alla matematica con “cose”.
Definizione
Che cos’è un set? In poche parole, è “una raccolta”.
Per prima cosa specifichiamo una proprietà comune tra le “cose” (definiremo questa parola in seguito) e poi raccogliamo tutte le “cose” che hanno questa proprietà comune.
Ad esempio, gli articoli che indossi: cappello, camicia, giacca, pantaloni e così via.
Sono sicuro che potresti inventarne almeno un centinaio.
Questo è noto come un insieme.
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Oppure un altro esempio sono i tipi di dita. Questo set include indice, medio, anello e pinky. |
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Quindi sono solo cose raggruppate insieme a una certa proprietà in comune.
Notazione
C’è una notazione abbastanza semplice per gli insiemi. Elenchiamo semplicemente ogni elemento (o “membro”) separato da una virgola, quindi inseriamo alcune parentesi graffe intorno all’intera cosa:
Le parentesi graffe {} sono talvolta chiamate “parentesi quadre” o “parentesi graffe”.
Questa è la notazione per i due esempi precedenti:
{calzini, scarpe, orologi, camicie, …}
{index, middle, ring, pinky}
Nota come il primo esempio ha il “…” (tre punti insieme) .
I tre punti … sono chiamati puntini di sospensione e significano “continua”.
Quindi questo significa che il primo esempio continua su .. . per infinito.
(OK, non c’è davvero una quantità infinita di cose che potresti indossare, ma non ne sono del tutto sicuro! Dopo un’ora passata a pensare a cose diverse, io “m ancora non sono sicuro. Quindi diciamo che è infinito per questo esempio.)
Quindi:
Ma a volte il “…” può essere usato nel mezzo per salvare scrivere lunghi elenchi:
Esempio: l’insieme di lettere:
{a, b, c, .. ., x, y, z}
In questo caso è un insieme finito (ci sono solo 26 lettere, giusto?)
Insiemi numerici
Quindi cosa c’entra questo con la matematica? Quando definiamo un insieme, tutto ciò che dobbiamo specificare è una caratteristica comune. Chi dice che non possiamo farlo con i numeri?
E così via. Possiamo inventare tutti i diversi tipi di insiemi.
Possiamo anche definire un insieme dalle sue proprietà, come {x | x > 0} che significa “l’insieme di tutte le x”, in modo tale che x sia maggiore di 0 “, vedi Notazione Set-Builder per ulteriori informazioni.
E possiamo avere insiemi di numeri che non hanno proprietà in comune, sono semplicemente definiti in questo modo. Ad esempio:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203 }
Sono tutti gli insiemi che ho battuto casualmente sulla mia tastiera per produrre.
Perché gli insiemi sono importanti?
Gli insiemi sono la proprietà fondamentale della matematica. Ora, come avvertimento, i set, da soli, sembrano piuttosto inutili. Ma è solo quando applichiamo insiemi in diverse situazioni che diventano i potenti elementi costitutivi della matematica che sono.
La matematica può diventare incredibilmente complicata abbastanza velocemente. Teoria dei grafi, Algebra astratta, Analisi reale, Complesso Analisi, algebra lineare, teoria dei numeri e l’elenco potrebbe continuare. Ma c’è una cosa che tutti hanno in comune: gli insiemi.
Insieme universale
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All’inizio abbiamo usato la parola “cose” tra virgolette. Lo chiamiamo insieme universale. È “un insieme che contiene tutto. Beh, non proprio tutto. Tutto ciò che è pertinente alla nostra domanda. |
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Nella Teoria dei numeri l’insieme universale è costituito da tutti i numeri interi, poiché la Teoria dei numeri è semplicemente il studio dei numeri interi. |
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Ma in Calculus (noto anche come analisi reale), l’insieme universale è quasi sempre i numeri reali. |
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E nell’analisi complessa, hai indovinato, l’insieme universale sono i numeri complessi. |
Qualche altra notazione
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Quando si parla di set, è abbastanza standard utilizzare lettere maiuscole per rappresentare il set e lettere minuscole per rappresentare un elemento in quell’insieme. Quindi, ad esempio, A è un insieme e a è un elemento nt in A. Stesso con B e be C e c. |
Ora non devi ascoltare lo standard , puoi usare qualcosa come m per rappresentare un insieme senza infrangere alcuna legge matematica (attenzione, puoi ottenere π anni in prigione per la matematica dividendo per 0), ma questa notazione è abbastanza carina e facile da seguire, quindi perché no?
Inoltre, quando diciamo che un elemento a è in un insieme A, usiamo il simbolo 
per mostrarlo.
E se qualcosa non è in un set use 
.
Esempio: Set A è {1,2,3}. Possiamo vedere che 1 A, ma 5 A
Uguaglianza
Due insiemi sono uguali se hanno esattamente la stessi membri. A prima vista potrebbero non sembrare uguali, quindi potremmo doverli esaminare da vicino!
Esempio: A e B sono uguali dove:
- A è l’insieme i cui membri sono i primi quattro numeri interi positivi
- B = {4, 2, 1, 3}
Controlliamo. Entrambi contengono 1. Entrambi contengono 2. E 3 e 4. E abbiamo controllato ogni elemento di entrambi gli insiemi, quindi: Sì, sono uguali!
E il segno di uguale ( =) viene utilizzato per mostrare l’uguaglianza, quindi scriviamo:
A = B
Sottoinsiemi
Quando definiamo un insieme, se prendiamo parti di quell’insieme, possiamo formare quello che viene chiamato un sottoinsieme.
In generale:
A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è in B.
Quindi usiamo questa definizione in alcuni esempi.
Proviamo con un esempio più difficile.
Sottoinsiemi appropriati
Se guardiamo alla definizione di sottoinsiemi e lasciamo che la nostra mente vaghi un po ‘, arriviamo a uno strano conclusione.
Sia A un insieme. Ogni elemento di A è in A?
Bene, umm, sì certo, giusto?
Quindi questo significa che A è un sottoinsieme di A. È un sottoinsieme di se stesso!
Questo non sembra molto appropriato, vero? Se vogliamo che i nostri sottoinsiemi siano appropriati introduciamo (cos’altro se non) sottoinsiemi appropriati:
A è un sottoinsieme proprio di B se e solo se ogni l’elemento di A è anche in B, ed esiste almeno un elemento in B che non è in A.
Questo pezzettino alla fine serve per assicurarsi che A non sia un proprio sottoinsieme di se stesso: diciamo che B deve avere almeno un elemento in più.
Esempio:
{1, 2, 3} è un sottoinsieme di {1, 2, 3}, ma non è un sottoinsieme appropriato di {1, 2, 3}.
Esempio:
{1, 2, 3} è un sottoinsieme appropriato di {1, 2, 3, 4} perché l’elemento 4 non è nel primo insieme.
Si noti che quando A è un sottoinsieme appropriato di B allora è anche un sottoinsieme di B.
Ancora più notazione
Quando diciamo che A è un sottoinsieme di B, scriviamo A 
B.
Oppure noi può dire che A non è un sottoinsieme di B di A 
B (“A non è un sottoinsieme di B”)
Quando parliamo di sottoinsiemi appropriati, togliamo la riga sottostante e così diventa A 
B o, se vogliamo dire il contrario, A 
B.
Set vuoto (o nullo)
Questa è probabilmente la cosa più strana degli insiemi.
Ad esempio, pensa al set di tasti di pianoforte su una chitarra.
“Ma aspetta!” dici, “Non ci sono tasti di piano su un chitarra! “
E hai ragione. È un insieme senza elementi.
Questo è noto come l’insieme vuoto (o insieme nullo). Non ci sono elementi in esso. Non uno. Zero.
Esso è rappresentato da 
Oppure da {} (un insieme senza elementi)
Alcuni altri esempi dell’insieme vuoto sono l’insieme dei paesi a sud del polo sud.
Allora, cosa c’è di così strano nel set vuoto? Bene, quella parte viene dopo.
Insieme vuoto e sottoinsiemi
Quindi torniamo alla nostra definizione di sottoinsiemi. Abbiamo un insieme A. Non lo definiremo alcun più di questo, potrebbe essere qualsiasi set. L’insieme vuoto è un sottoinsieme di A?
Tornando alla nostra definizione di sottoinsiemi, se ogni elemento dell’insieme vuoto è anche in A, allora l’insieme vuoto è un sottoinsieme di A. Ma cosa succede se noi non hanno elementi?
Ci vuole un’introduzione alla logica per capirlo, ma questa affermazione è “vacuamente” o “banalmente” vera.
Un buon modo di pensare è: non possiamo trovare alcun elemento nell’insieme vuoto che non sia in A, quindi deve essere che tutti gli elementi nell’insieme vuoto siano in A.
Quindi la risposta alla domanda posta è un clamoroso sì.
L’insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme, incluso l’insieme vuoto stesso.
Ordine
No, non l’ordine degli elementi. Negli insiemi non importa in quale ordine si trovano gli elementi.
Esempio: {1,2,3,4} è lo stesso insieme di {3,1,4,2}
Quando diciamo ordine in insiemi, intendiamo la dimensione dell’insieme.
Un altro nome (migliore) per questo è cardinalità.
Un insieme finito ha un ordine finito (o cardinalità). Un insieme infinito ha un ordine (o cardinalità) infinito.
Per gli insiemi finiti l’ordine (o cardinalità) è il numero di elementi.
Esempio: {10, 20, 30, 40} ha un ordine di 4.
Per insiemi infiniti, tutto ciò che possiamo dire è che l’ordine è infinito. Stranamente, possiamo dire con gli insiemi che alcuni infiniti sono più grandi di altri, ma questo è un argomento più avanzato negli insiemi.
Arg! Non più notazione!
No, sto scherzando. Niente più annotazioni.
di
e