Hoe vind je de horizontale asymptoten van een functie?

Problemen met horizontale asymptoten komen voor op zowel het AP Calculus AB- als het BC-examen, en het is belangrijk om te weten hoe je horizontale asymptoten zowel grafisch kunt vinden (uit de grafiek zelf) en analytisch (uit de vergelijking voor een functie).

Voordat we ons verdiepen in het vinden van de asymptoten, kunnen we beter zien wat een asymptoot precies is.

Definitie van Horizontale asymptoot

Een horizontale asymptoot voor een functie is een horizontale lijn die de grafiek van de functie nadert als x ∞ (oneindig) of -∞ (minus oneindig) nadert. Met andere woorden, als y = k een horizontale asymptoot is voor de functie y = f (x), dan komen de waarden (y-coördinaten) van f (x) steeds dichter bij k als je de curve naar rechts trekt ( x → ∞) of naar links (x → -∞).

De limietdefinitie voor horizontale asymptoten

Omdat asymptoten op deze manier worden gedefinieerd, zou het geen verrassing moeten zijn dat limieten verschijnen. De precieze definitie van een horizontale asymptoot gaat als volgt: We zeggen dat y = k een horizontale asymptoot is voor de functie y = f (x) als een van de twee limit statements waar is:

.

Grafische horizontale asymptoten vinden

Als er een grafiek wordt gegeven, kijk dan gewoon naar de linkerkant en de rechterkant. Als blijkt dat de curve afvlakt, zoek dan gewoon de y-coördinaat waarnaar de curve lijkt te naderen. Het helpt om een horizontale lijn te schetsen op de hoogte waar je denkt dat de asymptoot zou moeten zijn. Laten we eens kijken hoe dit werkt in het volgende voorbeeld. Houd er rekening mee dat de stippellijn doorgaans niet wordt weergegeven – dat zou het probleem veel te gemakkelijk maken!

De grafiek aan de linkerkant toont een typische functie. Als je het linkerdeel van de bocht zo ver mogelijk naar links volgt, waar kom je dan terecht? Met andere woorden, wat is de y-coördinaat van het meest linkse punt in de grafiek? Een goede schatting kan ergens tussen 1 en 2 liggen, misschien iets dichter bij 1.

Stel je voor wat er zou gebeuren als je doorgaat met het tekenen van de grafiek links van wat wordt weergegeven. Het lijkt redelijk dat de curve vlakker wordt en een waarde van 1 nadert, waarbij hij zachtjes de horizontale lijn y = 1 raakt, net als een vliegtuig dat landt.

Volg op dezelfde manier het rechtergedeelte van de curve tot aan zo goed als je kunt, en stel je voor wat er zou gebeuren als je door zou gaan. Nogmaals, de curve lijkt af te vlakken en y = 1 te naderen, deze keer komend van onder de lijn. Deze functie heeft een enkele horizontale asymptoot, y = 1. Zodra je de lijn schetst (onderbroken in de rechter figuur), wordt het duidelijk dat we de juiste horizontale asymptoot hebben gevonden.

Analytisch zoeken van horizontale asymptoten

Wat als u geen grafiek krijgt? In veel gevallen is het eigenlijk vrij eenvoudig om de horizontale asymptoot (en) te bepalen, indien aanwezig. Er zijn slechts een paar regels die moeten worden gevolgd.

Rationele functies

Analyse van hoogste ordertermen

Om een termanalyse van de hoogste orde uit te voeren op een rationele functie, moet u ervoor zorgen dat de bovenste en onderste polynomen worden volledig uitgebreid en schrijven dan een nieuwe functie met alleen de hoogste orde term van boven en van onderen. Alle andere termen (termen van lagere orde) kunnen veilig worden genegeerd. Annuleer alle algemene factoren en variabelen en:

• Als het resultaat een constante k is, dan is y = k de enkele horizontale asymptoot. Dit gebeurt wanneer de graad van de bovenkant overeenkomt met de graad van de onderkant.

• Als het resultaat de machten van x over heeft bovenop, dan is er geen horizontale asymptoot.

• Als het resultaat macht x over heeft op de bodem, dan is y = 0 de enkele horizontale asymptoot.

Voorbeelden voor analyse van de hoogste orde-term

Laten we de termanalyse van de hoogste orde gebruiken om de horizontale asymptoten van de volgende functies te vinden.

(c) Deze keer zijn er geen horizontale asymptoten omdat (x4) / (x3) = x / 1, waardoor een x bovenaan de breuk blijft staan.

Exponentiële functies

De methode van termanalyse van de hoogste orde is snel en gemakkelijk, maar is alleen van toepassing op rationele functies. Wat als u een andere functie krijgt? Bepaalde functies, zoals exponentiële functies, hebben altijd een horizontale asymptoot. Een functie met de vorm f (x) = a (bx) + c heeft altijd een horizontale asymptoot op y = c. De horizontale asymptoot van y = 30e – 6x – 4 is bijvoorbeeld: y = -4, en de horizontale asymptoot van y = 5 (2x) is y = 0.

Horizontale asymptoten in het algemeen?

Meer algemene functies kunnen moeilijker te kraken zijn. Onthoud echter dat een horizontale asymptoot technisch gezien limieten is (zoals x → ∞ of x → -∞). Daarom meten ze het eindgedrag van de functie.Als u aan een gedeelte van het examen werkt dat een grafische rekenmachine mogelijk maakt, kunt u de functie eenvoudig tekenen en deze naar rechts en links volgen totdat u kunt bepalen of de waarden in beide richtingen afvlakken.

Conclusie

Problemen met horizontale asymptoten zijn meestal niet al te moeilijk. Weet hoe je naar de grafiek moet kijken, of als er geen grafiek wordt gegeven, weet dan hoe je de functie moet analyseren (analyse van de hoogste orde term voor rationale functies, de speciale regel voor exponentiële functies, of probeer, als al het andere faalt, grafieken te maken). / p>