Vergeet alles wat je weet over getallen.
Vergeet zelfs dat je weet wat een getal is.
Dit is waar wiskunde begint.
In plaats van rekenen met getallen, zullen we nu over wiskunde denken met “dingen”.
Definitie
Wat is een verzameling? Simpel gezegd, het is “een verzameling.
Eerst specificeren we een gemeenschappelijke eigenschap onder” dingen “(we definiëren dit woord later) en dan verzamelen we alle” dingen “die deze gemeenschappelijke eigenschap hebben.
Bijvoorbeeld de items die u draagt: hoed, shirt, jas, broek , enzovoort.
Ik weet zeker dat je er minstens honderd kunt verzinnen.
Dit staat bekend als een set.
|
Of een ander voorbeeld zijn soorten vingers. Deze set bevat index, middelste, ring en pink. |
 |
Het zijn dus gewoon dingen die gegroepeerd zijn met een bepaalde eigenschap gemeen.
Notatie
Er is een vrij eenvoudige notatie voor sets. We vermelden eenvoudig elk element (of “lid”) gescheiden door een komma, en plaatsen vervolgens enkele accolades rond het geheel:
De accolades {} worden soms “set haakjes” of “accolades” genoemd.
Dit is de notatie voor de twee voorgaande voorbeelden:
{sokken, schoenen, horloges, shirts, …}
{index, midden, ring, pink}
Merk op hoe het eerste voorbeeld de “…” heeft (drie punten samen) .
De drie punten … worden ellips genoemd en betekenen “ga door op”.
Dus dat betekent dat het eerste voorbeeld doorgaat op .. . voor oneindig.
(OK, er is niet echt een oneindig aantal dingen die je zou kunnen dragen, maar daar ben ik niet helemaal zeker van! Na een uur aan verschillende dingen te hebben gedacht, ben ik nog steeds niet zeker. Dus laten we zeggen dat het oneindig is voor dit voorbeeld.)
Dus:
Maar soms kan de “…” in het midden worden gebruikt om op te slaan lange lijsten schrijven:
Voorbeeld: de set letters:
{a, b, c, .. ., x, y, z}
In dit geval is het een eindige set (er zijn maar 26 letters, toch?)
Numerieke sets
Wat heeft dit met wiskunde te maken? Als we een set definiëren, hoeven we alleen maar een gemeenschappelijk kenmerk te specificeren. Wie zegt dat we dit niet kunnen doen met getallen?
Enzovoort. We kunnen allerlei verschillende soorten sets bedenken.
We kunnen een set ook definiëren op basis van zijn eigenschappen, zoals {x | x > 0} wat “de verzameling van alle x” betekent, zodat x groter is dan 0 “, zie Set-Builder Notation voor meer informatie.
En we kunnen reeksen getallen hebben die geen gemeenschappelijke eigenschap hebben, ze zijn gewoon op die manier gedefinieerd. Bijvoorbeeld:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203 }
Zijn alle sets die ik willekeurig op mijn toetsenbord heb geslagen om te produceren.
Waarom zijn sets belangrijk?
Sets zijn de fundamentele eigenschap van wiskunde. Als waarschuwing: sets op zichzelf lijken nogal zinloos. Maar pas als we sets in verschillende situaties toepassen, worden ze de krachtige bouwsteen van de wiskunde die ze zijn.
Wiskunde kan behoorlijk snel verbazend ingewikkeld worden. Grafentheorie, abstracte algebra, reële analyse, complex Analyse, lineaire algebra, getaltheorie en nog veel meer. Maar er is één ding dat ze allemaal gemeen hebben: sets.
Universele set
 |
In het begin gebruikten we het woord “dingen” tussen aanhalingstekens. We noemen dit de universele set. Het is een set die alles bevat. Nou ja, niet echt alles. Alles wat relevant is voor onze vraag. |
|
 |
In de getaltheorie bestaat de universele verzameling uit alle gehele getallen, aangezien de getaltheorie eenvoudigweg de studie van gehele getallen. |
|
 |
Maar in Calculus (ook bekend als echte analyse), is de universele verzameling bijna altijd de reële getallen. |
|
 |
En bij complexe analyse, je raadt het al, de universele set bestaat uit de complexe getallen. |
Wat meer notatie
 |
Als het over sets gaat, is het vrij standaard om hoofdletters te gebruiken om de set te vertegenwoordigen, en kleine letters om een element in die set. Dus bijvoorbeeld A is een set en a is een eleme nt in A. Zelfde met B en b, en C en c. |
Nu hoef je niet meer naar de standaard te luisteren , je kunt zoiets als m gebruiken om een set weer te geven zonder wiskundige wetten te overtreden (pas op, je kunt π jaar gevangenisstraf krijgen als je door 0 deelt), maar deze notatie is best aardig en gemakkelijk te volgen, dus waarom niet?
Als we zeggen dat een element a in een set A zit, gebruiken we het symbool 
om het te laten zien.
En als iets niet in een set use 
.
Voorbeeld: Set A is {1,2,3}. We kunnen zien dat 1 A, maar 5 A
Gelijkheid
Twee sets zijn gelijk als ze precies de dezelfde leden. Nu lijken ze op het eerste gezicht misschien niet gelijk, dus we moeten ze misschien nauwkeurig onderzoeken!
Voorbeeld: zijn A en B gelijk waar:
- A is de set waarvan de leden de eerste vier positieve gehele getallen zijn.
- B = {4, 2, 1, 3}
Laten we eens kijken. Ze bevatten allebei 1. Ze bevatten allebei 2. En 3, En 4. En we hebben elk element van beide sets gecontroleerd, dus: Ja, ze zijn gelijk!
En het gelijkteken ( =) wordt gebruikt om gelijkheid te tonen, dus schrijven we:
A = B
Subsets
Als we een set definiëren en we delen van die set nemen, kunnen we een zogenaamde subset vormen.
In het algemeen:
A is een subset van B als en slechts als elk element van A in B staat.
Laten we deze definitie dus in enkele voorbeelden gebruiken.
Laten we een moeilijker voorbeeld proberen.
Juiste subsets
Als we kijken naar de definitie van subsets en onze gedachten een beetje laten afdwalen, komen we tot een rare conclusie.
Laat A een set zijn. Is elk element van A in A?
Nou, umm, ja natuurlijk, toch?
Dus dat betekent dat A een subset is van A. Het is een subset van zichzelf!
Dit lijkt niet erg gepast, toch? Als we willen dat onze subsets correct zijn, introduceren we (wat anders dan) de juiste subsets:
A is een goede subset van B als en slechts als elke element van A staat ook in B, en er bestaat tenminste één element in B dat niet in A staat.
Dit kleine stukje aan het einde is er om ervoor te zorgen dat A geen de juiste subset van zichzelf: we zeggen dat B minstens één extra element moet hebben.
Voorbeeld:
{1, 2, 3} is een subset van {1, 2, 3}, maar is geen goede subset van {1, 2, 3}.
Voorbeeld:
{1, 2, 3} is een juiste subset van {1, 2, 3, 4} omdat het element 4 niet in de eerste set zit.
Merk op dat wanneer A een goede subset van B is, het ook een subset van B.
Nog meer notatie
Als we zeggen dat A een subset van B is, schrijven we A 
B.
Of wij kan zeggen dat A geen subset van B is door A 
B (“A is geen subset van B”)
Als we het hebben over de juiste subsets, we verwijderen de regel eronder en zo wordt het A 
B of, als we het tegenovergestelde willen zeggen, A 
B.
Lege (of nul) set
Dit is waarschijnlijk het raarste aan sets.
Denk als voorbeeld aan de set pianotoetsen op een gitaar.
“Maar wacht!”, zegt u: “Er zijn geen pianotoetsen op een gitaar. gitaar! “
En gelijk heb je. Het is een set zonder elementen.
Dit staat bekend als de lege set (of null-set). Er zitten geen elementen in. Niet één. Nul.
Het wordt vertegenwoordigd door 
Of door {} (een set zonder elementen)
Enkele andere voorbeelden van de lege set zijn de set van landen ten zuiden van de zuidpool.
Dus wat is er zo raar aan de lege set? Nou, dat deel komt daarna.
Lege set en subsets
Laten we dus teruggaan naar onze definitie van subsets. We hebben een set A. We zullen het niet definiëren meer dan dat, het kan elke set zijn. Is de lege set een subset van A?
Teruggaand naar onze definitie van subsets, als elk element in de lege set ook in A staat, dan is de lege set een subset van A. Maar wat als we geen elementen hebben?
Er is een inleiding in de logica voor nodig om dit te begrijpen, maar deze bewering is er een die “vacuüm” of “triviaal” waar is.
Een goede manier om na te denken over het is: we kunnen geen elementen in de lege set vinden die niet in A staan, dus het moet zo zijn dat alle elementen in de lege set in A staan.
Dus het antwoord op de gestelde vraag is een volmondig ja.
De lege set is een subset van elke set, inclusief de lege set zelf.
Bestelling
Nee, niet de volgorde van de elementen. In sets maakt het niet uit in welke volgorde de elementen zich bevinden.
Voorbeeld: {1,2,3,4} is dezelfde set als {3,1,4,2}
Als we volgorde in sets zeggen, bedoelen we de grootte van de set.
Een andere (betere) naam hiervoor is kardinaliteit.
Een eindige verzameling heeft een eindige volgorde (of kardinaliteit). Een oneindige verzameling heeft een oneindige volgorde (of kardinaliteit).
Voor eindige verzamelingen is de volgorde (of kardinaliteit) het aantal elementen.
Voorbeeld: {10, 20, 30, 40} heeft een volgorde van 4.
Voor oneindige sets kunnen we alleen maar zeggen dat de volgorde oneindig is. Vreemd genoeg kunnen we met sets zeggen dat sommige oneindigheden groter zijn dan andere, maar dit is een meer geavanceerd onderwerp in sets.
Arg! Geen notatie meer!
Nee, grapje. Geen notatie meer.
door
en