Cum găsești asimptotele orizontale ale unei funcții?

Problemele referitoare la asimptotele orizontale apar atât la examenul AP Calculus AB, cât și la examenul BC și este important să știi cum să găsești asimptotele orizontale atât grafic (din graficul în sine) și analitic (din ecuația pentru o funcție).

Înainte de a aprofunda găsirea asimptotelor, deși vedem mai bine ce este exact o asimptotă.

Definiția Asimptotă orizontală

O asimptotă orizontală pentru o funcție este o linie orizontală pe care graficul funcției o abordează pe măsură ce x se apropie de ∞ (infinit) sau -∞ (minus infinit). Cu alte cuvinte, dacă y = k este o asimptotă orizontală pentru funcția y = f (x), atunci valorile (coordonatele y) ale lui f (x) se apropie din ce în ce mai mult de k pe măsură ce urmăriți curba spre dreapta ( x → ∞) sau la stânga (x → -∞).

Definiția limită pentru asimptotele orizontale

Deoarece asimptotele sunt definite în acest fel, nu ar trebui să ne surprindă faptul că limitele apar. Definiția precisă a unei asimptote orizontale este următoarea: Spunem că y = k este o asimptotă orizontală pentru funcția y = f (x) dacă oricare dintre cele două afirmații limită este adevărată:

.

Găsirea grafică a asimptotelor orizontale

Dacă este dat un grafic, atunci pur și simplu uitați-vă la partea stângă și partea dreaptă. Dacă se pare că curba se nivelează, atunci localizați coordonata y către care curba pare să se apropie. Vă ajută să schițați o linie orizontală la înălțimea în care credeți că ar trebui să fie asimptota. Să vedem cum funcționează acest lucru în exemplul următor. Rețineți, de obicei, nu vi se va afișa linia punctată – ceea ce ar face problema prea ușoară!

graficul din stânga arată o funcție tipică. Dacă urmezi partea stângă a curbei cât mai departe în stânga, unde ajungi? Cu alte cuvinte, care este coordonata y a celui mai stâng punct indicat în grafic? O estimare bună ar putea fi undeva între 1 și 2, poate puțin mai aproape de 1.

Ei bine, imaginați-vă ce s-ar întâmpla dacă ați continua să desenați graficul din stânga a ceea ce este prezentat. Pare rezonabil ca curba să se niveleze și să se apropie de o valoare de 1, atingând ușor linia orizontală y = 1 la fel ca un avion care aterizează.

În mod similar, urmați partea dreaptă a curbei până la îți imaginezi ce s-ar întâmpla dacă ai continua. Din nou, curba pare să se niveleze și să se apropie de y = 1, de această dată venind de sub linie. Această funcție are o singură asimptotă orizontală, y = 1. Odată ce ați schițat linia (întreruptă în figura din dreapta), devine clar că am găsit asimptota orizontală corectă.

Găsirea asimptotelor orizontale analitic

Ce se întâmplă dacă nu vi se oferă un grafic? Ei bine, în multe cazuri, este destul de ușor să determinați asimptotele orizontale, dacă există. Există doar câteva reguli de urmat.

Funcții raționale

Cea mai mare analiză a termenului de comandă

Pentru a efectua analiza termenului de cea mai înaltă ordine pentru o funcție rațională, asigurați-vă că polinoamele de sus și de jos sunt complet extinse și apoi scrieți o nouă funcție având doar termenul de ordine cel mai înalt din partea de sus și de jos. Toți ceilalți termeni (termeni de comandă mai mici) pot fi ignorați în siguranță. Anulați orice factori și variabile comune și:

• Dacă rezultatul este o constantă k, atunci y = k este singura asimptotă orizontală. Acest lucru se întâmplă atunci când gradul de sus se potrivește cu gradul de jos.

• Dacă rezultatul are puteri de x rămase deasupra, atunci nu există asimptotă orizontală.

• Dacă rezultatul are puteri de x rămase în partea de jos, atunci y = 0 este singura asimptotă orizontală.

Exemple pentru analiza termenului cu cea mai înaltă ordine

Să folosim analiza termenului cu cea mai înaltă ordine pentru a găsi asimptotele orizontale ale următoarelor funcții.

(c) De data aceasta, nu există asimptote orizontale deoarece (x4) / (x3) = x / 1, lăsând un x în partea de sus a fracției.

Funcții exponențiale

Metoda de analiză a termenului cu cea mai înaltă ordine este rapidă și ușoară, dar se aplică doar funcțiilor raționale. Ce se întâmplă dacă vi se oferă un alt tip de funcție? Anumite funcții, cum ar fi funcțiile exponențiale, au întotdeauna o asimptotă orizontală. O funcție de forma f (x) = a (bx) + c are întotdeauna o asimptotă orizontală la y = c. De exemplu, asimptota orizontală a lui y = 30e – 6x – 4 este: y = -4, iar asimptota orizontală a lui y = 5 (2x) este y = 0.

Asimptotele orizontale în general?

Funcțiile mai generale pot fi mai greu de spart. Totuși, nu uitați că o asimptotă orizontală este tehnic limitată (ca x → ∞ sau x → -∞). Prin urmare, ele măsoară comportamentul final al funcției.Dacă lucrați la o secțiune a examenului care permite un calculator grafic, atunci puteți pur și simplu să graficați funcția și să o urmăriți la dreapta și la stânga până când puteți stabili dacă valorile se scad în ambele direcții.

Concluzie

Problemele legate de asimptotele orizontale nu sunt de obicei prea dificile. Știți cum să priviți graficul sau dacă nu este dat un grafic, atunci știți cum să analizați funcția (analiza termenului de cea mai înaltă ordine pentru funcțiile raționale, regula specială pentru funcțiile exponențiale sau când toate celelalte eșuează, încercați graficarea) / p>