Comment trouver les asymptotes horizontales d’une fonction?

Les problèmes concernant les asymptotes horizontales apparaissent à la fois à l’examen AP Calculus AB et BC, et il est important de savoir comment trouver les asymptotes horizontales graphiquement (à partir du graphique lui-même) et analytiquement (à partir de l’équation d’une fonction).

Avant de nous plonger dans la recherche des asymptotes, nous voyons mieux ce qu’est exactement une asymptote.

Définition de Asymptote horizontale

Une asymptote horizontale pour une fonction est une ligne horizontale que le graphe de la fonction s’approche lorsque x approche ∞ (infini) ou -∞ (moins l’infini). En d’autres termes, si y = k est une asymptote horizontale pour la fonction y = f (x), alors les valeurs (coordonnées y) de f (x) se rapprochent de plus en plus de k lorsque vous tracez la courbe vers la droite ( x → ∞) ou vers la gauche (x → -∞).

La définition limite des asymptotes horizontales

Parce que les asymptotes sont définies de cette manière, il n’est pas surprenant que les limites font leur apparition. La définition précise d’une asymptote horizontale est la suivante: Nous disons que y = k est une asymptote horizontale pour la fonction y = f (x) si l’une des deux déclarations de limite est vraie:

.

Trouver graphiquement les asymptotes horizontales

Si un graphique est donné, alors regardez simplement le côté gauche et le côté droit. S’il semble que la courbe se stabilise, localisez simplement la coordonnée y à laquelle la courbe semble se rapprocher. Il est utile d’esquisser une ligne horizontale à la hauteur où vous pensez que l’asymptote devrait se trouver. Voyons comment cela fonctionne dans l’exemple suivant. Gardez à l’esprit que la ligne pointillée ne vous sera généralement pas affichée – cela rendrait le problème beaucoup trop facile!

Le le graphique à gauche montre une fonction typique. Si vous suivez la partie gauche de la courbe aussi loin que possible vers la gauche, où finissez-vous? En d’autres termes, quelle est la coordonnée y du point le plus à gauche indiqué dans le graphique? Une bonne estimation pourrait se situer entre 1 et 2, peut-être un peu plus près de 1.

Imaginez ce qui se passerait si vous continuiez à dessiner le graphique à gauche de ce qui est montré. Il semble raisonnable que la courbe se stabilise et se rapproche d’une valeur de 1, touchant doucement la ligne horizontale y = 1 comme un avion atterrissant.

De même, suivez la partie droite de la courbe jusqu’à le droit que vous pouvez, et imaginez ce qui se passerait si vous continuiez. Là encore, la courbe semble se stabiliser et se rapprocher de y = 1, cette fois venant du dessous de la ligne. Cette fonction a une seule asymptote horizontale, y = 1. Une fois que vous avez esquissé la ligne (en pointillés sur la figure de droite), il devient clair que nous avons trouvé la bonne asymptote horizontale.

Recherche analytique des asymptotes horizontales

Et si aucun graphique ne vous est fourni? Dans de nombreux cas, il est en fait assez facile de déterminer la ou les asymptotes horizontales, s’il en existe. Il y a juste quelques règles à suivre.

Fonctions rationnelles

Analyse des termes d’ordre le plus élevé

Pour effectuer une analyse des termes d’ordre le plus élevé sur une fonction rationnelle, assurez-vous que Les polynômes du haut et du bas sont entièrement développés, puis écrivent une nouvelle fonction n’ayant que le terme d’ordre le plus élevé du haut et du bas. Tous les autres termes (termes d’ordre inférieur) peuvent être ignorés en toute sécurité. Annulez tous les facteurs et variables communs et:

• Si le résultat est une constante k, alors y = k est la seule asymptote horizontale. Cela se produit lorsque le degré du haut correspond au degré du bas.

• Si le résultat a des puissances de x restantes en haut, alors il n’y a pas d’asymptote horizontale.

• Si le résultat a des puissances de x laissées en bas, alors y = 0 est la seule asymptote horizontale.

Exemples d’analyse des termes d’ordre supérieur

Utilisons l’analyse des termes d’ordre supérieur pour trouver les asymptotes horizontales des fonctions suivantes.

(c) Cette fois, il n’y a pas d’asymptotes horizontales car (x4) / (x3) = x / 1, laissant un x en haut de la fraction.

Fonctions exponentielles

La méthode d’analyse des termes d’ordre le plus élevé est simple et rapide mais ne s’applique qu’aux fonctions rationnelles. Et si vous bénéficiez d’un autre type de fonction? Certaines fonctions, telles que les fonctions exponentielles, ont toujours une asymptote horizontale. Une fonction de la forme f (x) = a (bx) + c a toujours une asymptote horizontale en y = c. Par exemple, l’asymptote horizontale de y = 30e – 6x – 4 est: y = -4, et l’asymptote horizontale de y = 5 (2x) est y = 0.

Asymptotes horizontales en général?

Des fonctions plus générales peuvent être plus difficiles à déchiffrer. Cependant, rappelez-vous simplement qu’une asymptote horizontale est techniquement limitée (comme x → ∞ ou x → -∞). Par conséquent, ils mesurent le comportement final de la fonction.Si vous travaillez sur une section de l’examen qui autorise une calculatrice graphique, vous pouvez simplement représenter graphiquement la fonction et la tracer vers la droite et la gauche jusqu’à ce que vous puissiez déterminer si les valeurs se stabilisent dans les deux sens.

Conclusion

Les problèmes d’asymptotes horizontaux ne sont généralement pas trop difficiles. Savoir regarder le graphe, ou si aucun graphe n’est donné, savoir analyser la fonction (analyse du terme d’ordre le plus élevé pour les fonctions rationnelles, règle spéciale pour les fonctions exponentielles, ou quand tout le reste échoue, essayez de représenter graphiquement) / p>