Como você encontra as assíntotas horizontais de uma função?

Problemas relacionados às assíntotas horizontais aparecem nos exames AP Calculus AB e BC, e é importante saber como encontrar as assíntotas horizontais graficamente (do próprio gráfico) e analiticamente (da equação para uma função).

Antes de nos aprofundarmos em encontrar as assíntotas, é melhor vermos o que exatamente é uma assíntota.

Definição de Assíntota horizontal

Uma assíntota horizontal para uma função é uma linha horizontal da qual o gráfico da função se aproxima quando x se aproxima de ∞ (infinito) ou -∞ (menos infinito). Em outras palavras, se y = k é uma assíntota horizontal para a função y = f (x), então os valores (coordenadas y) de f (x) ficam cada vez mais perto de k conforme você traça a curva para a direita ( x → ∞) ou à esquerda (x → -∞).

A definição de limite para assíntotas horizontais

Como as assíntotas são definidas dessa forma, não deve ser surpresa que os limites aparecem. A definição precisa de uma assíntota horizontal é a seguinte: Dizemos que y = k é uma assíntota horizontal para a função y = f (x) se qualquer uma das duas afirmações de limite for verdadeira:

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Encontrar assíntotas horizontais graficamente

Se um gráfico for fornecido, basta olhar para o lado esquerdo e o lado direito. Se parecer que a curva está nivelada, basta localizar a coordenada y para a qual a curva parece estar se aproximando. Ajuda traçar uma linha horizontal na altura onde você acha que a assíntota deveria estar. Vamos ver como isso funciona no próximo exemplo. Lembre-se de que normalmente a linha tracejada não será exibida – isso tornaria o problema muito fácil!

O o gráfico à esquerda mostra uma função típica. Se você seguir a parte esquerda da curva o mais à esquerda possível, onde você vai parar? Em outras palavras, qual é a coordenada y do ponto mais à esquerda mostrado no gráfico? Uma boa estimativa pode ser algo entre 1 e 2, talvez um pouco mais perto de 1.

Bem, imagine o que aconteceria se você continuasse desenhando o gráfico à esquerda do que é mostrado. Parece razoável que a curva se nivele e se aproxime de um valor de 1, tocando suavemente na linha horizontal y = 1, assim como um avião pousando.

Da mesma forma, siga a parte direita da curva até o mais certo possível, e imagine o que aconteceria se você continuasse. Novamente, a curva parece se nivelar e se aproximar de y = 1, desta vez vindo de baixo da linha. Essa função tem uma única assíntota horizontal, y = 1. Depois de esboçar a linha (tracejada na figura à direita), fica claro que encontramos a assíntota horizontal correta.

Encontrando assíntotas horizontais analiticamente

E se você não receber um gráfico? Bem, em muitos casos, é realmente muito fácil determinar a (s) assíntota (s) horizontal (is), se houver. Existem apenas algumas regras a seguir.

Funções racionais

Análise de termos de pedido mais alto

Para fazer a análise de termos de mais alto pedido em uma função racional, certifique-se de que os polinômios superior e inferior são totalmente expandidos e, em seguida, escrevem uma nova função tendo apenas o termo de ordem mais alta do topo e da base. Todos os outros termos (termos de pedido inferior) podem ser ignorados com segurança. Cancele quaisquer fatores e variáveis comuns e:

• Se o resultado for uma constante k, então y = k é a assíntota horizontal única. Isso acontece quando o grau do topo corresponde ao grau do fundo.

• Se o resultado tiver quaisquer potências de x sobrando no topo, então não há assíntota horizontal.

• Se o resultado tiver quaisquer potências de x restantes na parte inferior, então y = 0 é a única assíntota horizontal.

Exemplos para análise de termos de pedido mais alto

Vamos usar a análise de termos de pedido mais alto para encontrar as assíntotas horizontais das seguintes funções.

(c) Desta vez, não há assíntotas horizontais porque (x4) / (x3) = x / 1, deixando um x no topo da fração.

Funções exponenciais

O método de análise de termos de ordem superior é rápido e fácil, mas só se aplica a funções racionais. E se você receber um tipo diferente de função? Certas funções, como funções exponenciais, sempre têm uma assíntota horizontal. Uma função da forma f (x) = a (bx) + c sempre tem uma assíntota horizontal em y = c. Por exemplo, a assíntota horizontal de y = 30e – 6x – 4 é: y = -4, e a assíntota horizontal de y = 5 (2x) é y = 0.

Assíntotas horizontais em geral?

Funções mais gerais podem ser mais difíceis de decifrar. No entanto, basta lembrar que uma assíntota horizontal é tecnicamente limites (como x → ∞ ou x → -∞). Portanto, eles medem o comportamento final da função.Se você estiver trabalhando em uma seção do exame que permite uma calculadora gráfica, pode simplesmente representar graficamente a função e traçá-la à direita e à esquerda até determinar se os valores estão nivelados em qualquer direção.

Conclusão

Os problemas sobre assíntotas horizontais geralmente não são muito difíceis. Saiba como olhar para o gráfico, ou se um gráfico não for fornecido, saiba como analisar a função (análise de termos de ordem superior para funções racionais, a regra especial para funções exponenciais ou, quando tudo mais falhar, tente representar graficamente).