Esqueça tudo o que sabe sobre números.
Na verdade, esqueça que você sabe o que é um número.
Isso é onde começa a matemática.
Em vez de matemática com números, vamos agora pensar em matemática com “coisas”.
Definição
O que é um conjunto? Bem, simplesmente, é “uma coleção.
Primeiro especificamos uma propriedade comum entre” coisas “(definiremos essa palavra mais tarde) e, em seguida, reunimos todas as” coisas “que têm essa propriedade comum.
Por exemplo, os itens que você veste: chapéu, camisa, jaqueta, calça e assim por diante.
Tenho certeza de que você poderia chegar a pelo menos cem.
Isso é conhecido como um conjunto.
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Ou outro exemplo são os tipos de dedos. Este conjunto inclui índice, meio, anel e rosado. |
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Portanto, são apenas coisas agrupadas com uma determinada propriedade em comum.
Notação
Existe uma notação bastante simples para conjuntos. Simplesmente listamos cada elemento (ou “membro”) separado por uma vírgula e, em seguida, colocamos algumas chaves ao redor de tudo:
Os colchetes {} às vezes são chamados de “colchetes” ou “colchetes”.
Esta é a notação para os dois exemplos anteriores:
{meias, sapatos, relógios, camisas, …}
{índice, meio, anel, dedinho}
Observe como o primeiro exemplo tem o “…” (três pontos juntos) .
Os três pontos … são chamados de reticências e significam “continuar”.
Isso significa que o primeiro exemplo continua .. . para o infinito.
(OK, não há realmente uma quantidade infinita de coisas que você poderia usar, mas não tenho certeza disso! Depois de uma hora pensando em coisas diferentes, estou ainda não tenho certeza. Então, vamos apenas dizer que é infinito para este exemplo.)
Então:
Mas às vezes o “…” pode ser usado no meio para salvar escrever listas longas:
Exemplo: o conjunto de letras:
{a, b, c, .. ., x, y, z}
Neste caso, é um conjunto finito (existem apenas 26 letras, certo?)
Conjuntos numéricos
Então, o que isso tem a ver com matemática? Quando definimos um conjunto, tudo o que precisamos especificar é uma característica comum. Quem disse que não podemos “fazer isso com números?
E assim por diante. Podemos chegar a todos os diferentes tipos de conjuntos.
Também podemos definir um conjunto por suas propriedades, como {x | x > 0} que significa “o conjunto de todos os x” s, de modo que x seja maior que 0 “, consulte Set-Builder Notation para saber mais.
E podemos ter conjuntos de números que não têm nenhuma propriedade comum, eles são apenas definidos dessa forma. Por exemplo:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203 }
São todos os conjuntos que bati aleatoriamente no teclado para produzir.
Por que os conjuntos são importantes?
Os conjuntos são propriedade fundamental da matemática. Agora, como uma palavra de aviso, os conjuntos, por si só, parecem bastante sem sentido. Mas é apenas quando aplicamos conjuntos em diferentes situações que eles se tornam o poderoso bloco de construção da matemática que são.
A matemática pode se tornar incrivelmente complicada muito rápido. Teoria dos grafos, álgebra abstrata, análise real, complexidade Análise, álgebra linear, teoria dos números e a lista continua. Mas há uma coisa que todos eles têm em comum: conjuntos.
Conjunto universal
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No início, usamos a palavra “coisas” entre aspas. Chamamos isso de conjunto universal. É um conjunto que contém tudo. Bem, não exatamente tudo. Tudo o que é relevante para a nossa pergunta. |
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Na Teoria dos Números, o conjunto universal são todos os inteiros, já que a Teoria dos Números é simplesmente o estudo de inteiros. |
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Mas em Cálculo (também conhecido como análise real), o conjunto universal é quase sempre os números reais. |
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E na análise complexa, você adivinhou, o conjunto universal são os números complexos. |
Um pouco mais de notação
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Ao falar sobre conjuntos, é bastante normal usar letras maiúsculas para representar o conjunto e letras minúsculas para representar um elemento nesse conjunto. Por exemplo, A é um conjunto e a é um eleme nt em A. Mesmo com B e b, e C e c. |
Agora você não precisa ouvir o padrão , você pode usar algo como m para representar um conjunto sem quebrar nenhuma lei matemática (cuidado, você pode pegar π anos na prisão de matemática se dividir por 0), mas essa notação é muito boa e fácil de seguir, então por que não?
Além disso, quando dizemos que um elemento a está em um conjunto A, usamos o símbolo 
para mostrá-lo.
E se algo não estiver em um set use 
.
Exemplo: O conjunto A é {1,2,3}. Podemos ver que 1 A, mas 5 A
Igualdade
Dois conjuntos são iguais se tiverem precisamente o mesmos membros. Agora, à primeira vista, eles podem não parecer iguais, então podemos ter que examiná-los de perto!
Exemplo: A e B são iguais onde:
- A é o conjunto cujos membros são os primeiros quatro números inteiros positivos
- B = {4, 2, 1, 3}
Vamos verificar. Ambos contêm 1. Ambos contêm 2. E 3 e 4. E verificamos todos os elementos de ambos os conjuntos, então: Sim, eles são iguais!
E o sinal de igual ( =) é usado para mostrar igualdade, então escrevemos:
A = B
Subconjuntos
Quando definimos um conjunto, se tomarmos partes desse conjunto, podemos formar o que é chamado de subconjunto.
Em geral:
A é um subconjunto de B se e somente se cada elemento de A estiver em B.
Portanto, vamos usar esta definição em alguns exemplos.
Vamos tentar um exemplo mais difícil.
Subconjuntos adequados
Se olharmos para a definição dos subconjuntos e deixarmos nossa mente vagar um pouco, chegaremos a um estranho conclusão.
Seja A um conjunto. Cada elemento de A está em A?
Bem, umm, sim, claro, certo?
Isso significa que A é um subconjunto de A. É um subconjunto de si mesmo!
Isso não parece muito apropriado, não é? Se quisermos que nossos subconjuntos sejam adequados, apresentamos (o que mais senão) subconjuntos adequados:
A é um subconjunto adequado de B se e somente se todos elemento de A também está em B, e existe pelo menos um elemento em B que não está em A.
Este pequeno pedaço no final existe para garantir que A não seja um subconjunto adequado de si mesmo: dizemos que B deve ter pelo menos um elemento extra.
Exemplo:
{1, 2, 3} é um subconjunto de {1, 2, 3}, mas não é um subconjunto adequado de {1, 2, 3}.
Exemplo:
{1, 2, 3} é um subconjunto adequado de {1, 2, 3, 4} porque o elemento 4 não está no primeiro conjunto.
Observe que quando A é um subconjunto adequado de B, ele também é um subconjunto de B.
Ainda mais notação
Quando dizemos que A é um subconjunto de B, escrevemos A 
B.
Ou nós podemos dizer que A não é um subconjunto de B por A 
B (“A não é um subconjunto de B”)
Quando falamos sobre subconjuntos adequados, retiramos a linha abaixo e ela se torna A 
B ou, se quisermos dizer o contrário, A 
B.
Conjunto vazio (ou nulo)
Esta é provavelmente a coisa mais estranha dos conjuntos.
Como exemplo, pense no conjunto de teclas de piano em uma guitarra.
“Mas espere!”, você diz, “Não há teclas de piano em um guitarra! “
E você tem razão. É um conjunto sem elementos.
Isso é conhecido como o Conjunto vazio (ou conjunto nulo). Não há nenhum elemento nele. Nenhum. Zero.
É é representado por 
Ou por {} (um conjunto sem elementos)
Alguns outros exemplos do conjunto vazio são o conjunto dos países ao sul do pólo sul.
Então, o que há de tão estranho no conjunto vazio? Bem, essa parte vem a seguir.
Conjunto vazio e subconjuntos
Então, vamos voltar à nossa definição de subconjuntos. Temos um conjunto A. Não vamos defini-lo em nenhum mais do que isso, pode ser qualquer conjunto. O conjunto vazio é um subconjunto de A?
Voltando à nossa definição de subconjuntos, se cada elemento no conjunto vazio também estiver em A, então o conjunto vazio é um subconjunto de A. Mas e se nós não tem elementos?
É necessária uma introdução à lógica para entender isso, mas essa afirmação é “vagamente” ou “trivialmente” verdadeira.
Uma boa maneira de pensar sobre é: não podemos encontrar nenhum elemento no conjunto vazio que não esteja em A, então deve ser que todos os elementos no conjunto vazio estejam em A.
Portanto, a resposta à questão colocada é um retumbante sim.
O conjunto vazio é um subconjunto de cada conjunto, incluindo o próprio conjunto vazio.
Ordem
Não, não é a ordem dos elementos. Nos conjuntos, não importa a ordem em que os elementos estão.
Exemplo: {1,2,3,4} é o mesmo conjunto que {3,1,4,2}
Quando dizemos ordem em conjuntos, queremos dizer o tamanho do conjunto.
Outro (melhor) nome para isso é cardinalidade.
Um conjunto finito possui ordem finita (ou cardinalidade). Um conjunto infinito tem ordem infinita (ou cardinalidade).
Para conjuntos finitos, a ordem (ou cardinalidade) é o número de elementos.
Exemplo: {10, 20, 30, 40} tem uma ordem de 4.
Para conjuntos infinitos, tudo o que podemos dizer é que a ordem é infinita. Curiosamente, podemos dizer com conjuntos que alguns infinitos são maiores do que outros, mas este é um tópico mais avançado em conjuntos.
Arg! Não há mais notação!
Nah, estou brincando. Sem mais notações.
por
e