Mathematische Aussage des adiabatischen TheoremsEdit
In mathematischen Begriffen kann das Theorem wie folgt angegeben werden:
Für einen langsam variierenden Hamilton-H ^ {\ Anzeigestil {\ hat {H}}} im Zeitbereich T die Lösung der Schrödinger-Gleichung Ψ (t) {\ displaystyle \ Psi (t)} mit Anfangsbedingungen Ψ (0) = ψ n (0) {\ displaystyle \ Psi (0) = \ psi _ {n} (0)} wobei ψ n (t) {\ displaystyle \ psi _ {n} (t)} der Eigenvektor der momentanen Schrödinger-Gleichung H ^ (t) ψ n (t ist ) = En (t) ψn (t) {\ Anzeigestil {\ hat {H}} (t) \ psi _ {n} (t) = E_ {n} (t) \ psi _ {n} (t )} kann wie folgt angenähert werden: ‖ ‖ (t) – ψ adiabatisch (t) ‖ ≈ o (1 T) {\ displaystyle \ left \ | {\ Psi (t) – \ psi _ {adiabatisch} (t)} \ rechts \ | \ approx o ({\ frac {1} {T}})} wobei die adiabatische Näherung ist: | ψ a d i a b a t i c (t)⟩ = e θ n (t) e γ n (t) | ψ n (t)⟩ {\ Anzeigestil | \ psi _ {adiabatisch} (t) \ rangle = e ^ {\ theta _ {n} (t)} e ^ {\ gamma _ {n} (t)} | \ psi _ {n} (t) \ rangle} und θ n (t) = – 1 ℏ ∫ 0 t E n (t ‚) dt‘ {\ displaystyle \ theta _ {n} (t) = – {\ frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n} (t „) dt“} γ n (t) = ∫ 0 t ν n (t ‚) dt‘ {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n} (t „) dt“} auch Beerenphase genannt ν n (t) = i ⟨ψ n (t) | ψ ψ n (t)⟩ {\ displaystyle \ nu _ {n} (t) = i \ langle \ psi _ {n} (t) | {\ dot {\ psi}} _ {n} (t) \ rangle }
ProofEdit
Betrachten Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
i ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩ = H ^ (t T) | ψ (t)⟩ {\ displaystyle i \ hbar {\ partiell \ über \ partiell t} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} ({\ tfrac {t} {T}}) | \ psi (t) \ rangle}
Definieren Sie die Zeit zuerst neu als λ = t T ∈ {\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in}:
i ℏ ∂ ∂ λ | ψ (λ)⟩ = T H ^ (λ) | ψ (λ)⟩. {\ displaystyle i \ hbar {\ partiell \ über \ partiell \ lambda} | \ psi (\ lambda) \ rangle = T {\ hat {H}} (\ lambda) | \ psi (\ lambda) \ rangle.} | ψ (λ)⟩ = ∑ n c n (λ) | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) {\ displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda) ) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)}}, wobei θn (λ) = – 1 ℏ ∫ 0 λEn (λ ′) d λ ′. {\ displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) = – {\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limitiert _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n} (\ lambda „) d \ lambda „.}
Die Phase θ n (t) {\ displaystyle \ theta _ {n} (t)} wird als dynamischer Phasenfaktor bezeichnet. Durch Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung kann eine andere Gleichung für die Variation der Koeffizienten erhalten werden:
i n n (c ˙ n | ψ n⟩ + cn | ψ n⟩ + icn | ψ n⟩ T θ ˙ n) ei T θ n = ∑ ncn TE n | ψ n⟩ e i T θ n. {\ displaystyle i \ hbar \ sum _ {n} ({\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n}) e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} ∑ nc ˙ n | ψ n⟩ e i T θ n = – ∑ n c n | ψ ψ n⟩ e i T θ n. {\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} = – \ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} c ˙ m = – ∑ ncn ⟨ψ m | ψ ψ n⟩ e i T (θ n – θ m). {\ displaystyle {\ dot {c}} _ {m} = – \ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m})}.}
Wir erhalten:
d ˙ m = – ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ψ n⟩ e i T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n). {\ displaystyle {\ dot {d}} _ {m} = – \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})}.}
Diese Gleichung kann integriert werden:
dm (1) – dm (0) = – 1 0 1 ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ψ n⟩ e i T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ = – ∫ 0 1 ∑ n ≠ m (d n – d n (0)) ⟨ψ m | ψ ψ n⟩ e i T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ – ∫ 0 λ ∑ n ≠ m d n (0) ⟨ψ m | ψ ψ n⟩ ei T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ {\ Anzeigestil {\ begin {ausgerichtet} d_ {m} (1) -d_ {m} (0) & = – \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi }} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda \\ & = – \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} (d_ {n} -d_ {n} (0)) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda – \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ Lambda \ end {align}}}
oder in Vektornotation geschrieben
d → (1) – d → (0) = – ∫ 0 1 A ^ (T, λ) (d → (λ) – d → (0)) d λ – α → (T). {\ displaystyle {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) = – \ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}} (T, \ lambda) ( {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0)) d \ lambda – {\ vec {\ alpha}} (T).}
Hier A ^ (T, λ ) {\ displaystyle {\ hat {A}} (T, \ lambda)} ist eine Matrix und
α m (T) = ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn (0) ⟨ψ m | ψ ψ n⟩ ei T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ {\ Anzeigestil \ alpha _ {m} (T) = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda} ist im Grunde eine Fourier-Transformation.‖ D → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ + ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ ‖ d → (λ) – d → (0) ‖ d λ { \ displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert \ Vert {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0) \ Vert d \ lambda}
und wende Grönwalls Ungleichung an, um
‖ d → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ e ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) zu erhalten. ‖ D λ. {\ Anzeigestil \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert d \ lambda}.} | ψ (λ)⟩ = | ψ n (λ)⟩ ei T & thgr; n (& lgr;) ei & ggr; n (& lgr;). {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} ( \ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n} (\ lambda)}.}
Für einen adiabatischen Prozess bleibt also ein System, das vom n-ten Eigenzustand ausgeht, auch in diesem n-ten Eigenzustand, wie es für den Zeitzustand der Fall ist. unabhängige Prozesse, die nur einige Phasenfaktoren erfassen. Der neue Phasenfaktor γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)} kann durch eine geeignete Auswahl des Messgeräts für die Eigenfunktionen aufgehoben werden. Wenn die adiabatische Entwicklung jedoch zyklisch ist, wird γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)} zu einer Eichinvarianten physikalischen Größe, die als Berry-Phase bekannt ist