断熱定理の数学的ステートメント編集
数学的には、定理は次のように表すことができます。
ゆっくりと変化するハミルトニアンH ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}時間範囲Tで、初期条件Ψ（0）=ψn（0）{\ displaystyle \ Psiを使用したシュレーディンガー方程式Ψ（t）{\ displaystyle \ Psi（t）}の解（0）= \ psi _ {n}（0）}ここで、ψn（t）{\ displaystyle \ psi _ {n}（t）}は、瞬間シュレーディンガー方程式の固有ベクトルH ^（t）ψn（t ）= E n（t）ψn（t）{\ displaystyle {\ hat {H}}（t）\ psi _ {n}（t）= E_ {n}（t）\ psi _ {n}（t ）}は次のように概算できます。‖Ψ（t）−ψ断熱（t）‖≈o（1 T）{\ displaystyle \ left \ | {\ Psi（t）-\ psi _ {adiabatic}（t）} \ right \ | \ upperx o（{\ frac {1} {T}}）}ここで、断熱近似は次のとおりです。 ψadia b a t i c（t）⟩=eθn（t）eγn（t）| ψn（t）⟩{\ displaystyle | \ psi _ {adiabatic}（t）\ rangle = e ^ {\ theta _ {n}（t）} e ^ {\ gamma _ {n}（t）} | \ psi _ {n}（t）\ rangle}およびθn（t）= −1ℏ∫0t E n（t ‘）dt’ {\ displaystyle \ theta _ {n}（t）=-{\ frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n}（t “）dt”}γn（t）=∫0tνn（t ‘）dt’ {\ displaystyle \ gamma _ {n}（t）= \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n}（t “）dt”}ベリーフェーズとも呼ばれるνn（t）=i⟨ψn（t）| ψ˙n（t）⟩{\ displaystyle \ nu _ {n}（t）= i \ langle \ psi _ {n}（t）| {\ dot {\ psi}} _ {n}（t）\ rangle }
ProofEdit
時間依存のシュレディンガー方程式を検討する
iℏ∂∂t| ψ（t）⟩= H ^（t T）| ψ（t）⟩{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} | \ psi（t）\ rangle = {\ hat {H}}（{\ tfrac {t} {T}}）| \ psi（t）\ rangle}
最初に時間をλ=tT∈{\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in}として再定義します：
iℏ∂∂λ| ψ（λ）⟩= T H ^（λ）| ψ（λ）⟩。 {\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial \ lambda} | \ psi（\ lambda）\ rangle = T {\ hat {H}}（\ lambda）| \ psi（\ lambda）\ rangle。} | ψ（λ）⟩= ∑ n c n（λ）| ψn（λ）⟩eiTθn（λ）{\ displaystyle | \ psi（\ lambda）\ rangle = \ sum _ {n} c_ {n}（\ lambda）| \ psi _ {n}（\ lambda ）\ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}（\ lambda）}}、ここで、θn（λ）= −1ℏ∫0λEn（λ ‘）dλ’。 {\ displaystyle \ theta _ {n}（\ lambda）=-{\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n}（\ lambda “）d \ lambda “。}
位相θn（t）{\ displaystyle \ theta _ {n}（t）}は動的位相係数と呼ばれます。シュレディンガー方程式に代入することにより、係数の変化に関する別の方程式を得ることができます。
iℏ∑ n（c˙n|ψn⟩+ cn |ψ˙n⟩+ icn |ψn⟩Tθ ˙n）eiTθn= ∑ ncn TE n | ψn⟩eiTθn。 {\ displaystyle i \ hbar \ sum _ {n}（{\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n}）e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}。} ∑nc˙n | ψn⟩eiTθn= − ∑ n c n | ψ˙n⟩eiTθn。 {\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} =-\ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}。}c˙m= − ∑ncn⟨ψm | ψ˙n⟩eiT（θn−θm）。 {\ displaystyle {\ dot {c}} _ {m} =-\ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT（\ theta _ {n}-\ theta _ {m}）}。}
次のようになります。
d˙m= − ∑n≠mdn⟨ψm| ψ˙n⟩eiT（θn−θm）− i（γm−γn）。 {\ displaystyle {\ dot {d}} _ {m} =-\ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT（\ theta _ {n}-\ theta _ {m}）-i（\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n}）}。}
この方程式は統合できます。
dm（1）− dm（0）= −∫0 1 ∑n≠mdn⟨ψm| ψ˙n⟩eiT（θn−θm）− i（γm−γn）dλ= −∫0 1 ∑ n≠m（d n − d n（0））⟨ψm| ψ˙n⟩eiT（θn−θm）− i（γm−γn）dλ−∫0λ∑n≠md n（0）⟨ψm| ψ˙n⟩eiT（θn−θm）− i（γm−γn）dλ{\ displaystyle {\ begin {aligned} d_ {m}（1）-d_ {m}（0）& =-\ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi }} _ {n} \ rangle e ^ {iT（\ theta _ {n}-\ theta _ {m}）-i（\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n}）} d \ lambda \\ & =-\ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m}（d_ {n} -d_ {n}（0））\ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT（\ theta _ {n}-\ theta _ {m}）-i（\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n}）} d \ lambda- \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n}（0）\ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT（\ theta _ {n}-\ theta _ {m}）-i（\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n}）} d \ lambda \ end {aligned}}}
またはベクトル表記で記述
d→（1）− d→（0）= −∫0 1 A ^（T、λ）（d→（λ）− d→（0））dλ−α→（T）。 {\ displaystyle {\ vec {d}}（1）-{\ vec {d}}（0）=-\ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}}（T、\ lambda）（ {\ vec {d}}（\ lambda）-{\ vec {d}}（0））d \ lambda-{\ vec {\ alpha}}（T）。}
ここにA ^（T、λ ）{\ displaystyle {\ hat {A}}（T、\ lambda）}は行列であり、
αm（T）=∫01∑ n≠mdn（0）⟨ψm| ψ˙n⟩eiT（θn−θm）− i（γm−γn）dλ{\ displaystyle \ alpha _ {m}（T）= \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n}（0）\ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT（\ theta _ {n}-\ theta _ {m}）-i（\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n}）} d \ lambda}は基本的にフーリエ変換です。‖d→（1）− d→（0）‖≤‖α→（T）‖+∫01‖A^（T、λ）‖‖d→（λ）− d→（0）‖dλ{ \ displaystyle \ Vert {\ vec {d}}（1）-{\ vec {d}}（0）\ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}}（T）\ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}}（T、\ lambda）\ Vert \ Vert {\ vec {d}}（\ lambda）-{\ vec {d}}（0）\ Vert d \ラムダ}
そしてGrönwallの不等式を適用して
‖d→（1）− d→（0）‖≤‖α→（T）‖e∫01‖A^（T、λ） ‖dλ。{\ displaystyle \ Vert {\ vec {d}}（1）-{\ vec {d}}（0）\ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}}（T）\ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}}（T、\ lambda）\ Vert d \ lambda}。} |ψ（λ）⟩= |ψn（λ）⟩ei Tθn（λ）eiγn（λ）。{\ displaystyle | \ psi（\ lambda）\ rangle = | \ psi _ {n}（\ lambda）\ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}（ \ lambda）} e ^ {i \ gamma _ {n}（\ lambda）}。}
したがって、断熱プロセスの場合、n番目の固有状態から始まるシステムも、そのn番目の固有状態のままです-独立したプロセスで、いくつかの位相係数のみを取得します。新しい位相係数γn（t）{\ displaystyle \ガンマ_ {n}（t）}は、固有関数のゲージを適切に選択することでキャンセルできます。ただし、断熱進化が周期的である場合、γn（t）{\ displaystyle \ gamma _ {n}（t）}は、ベリー位相として知られるゲージ不変の物理量になります。