Matematyczne stwierdzenie twierdzenia adiabatycznego {\ kapelusz {H}}} w przedziale czasowym T rozwiązanie równania Schroedingera Ψ (t) {\ Displaystyle \ Psi (t)} z warunkami początkowymi Ψ (0) = ψ n (0) {\ Displaystyle \ Psi (0) = \ psi _ {n} (0)} gdzie ψ n (t) {\ Displaystyle \ psi _ {n} (t)} jest wektorem własnym chwilowego równania Schroedingera H ^ (t) ψ n (t ) = Mi n (t) ψ n (t) {\ displaystyle {\ kapelusz {H}} (t) \ psi _ {n} (t) = e_ {n} (t) \ psi _ {n} (t )} można przybliżyć jako: ‖ Ψ (t) – ψ adiabatyczne (t) ‖ ≈ o (1 T) {\ Displaystyle \ lewo \ | {\ psi (t) – \ psi _ {adiabatyczne} (t)} \ right \ | \ approx o ({\ frac {1} {T}})} gdzie przybliżenie adiabatyczne to: | ψ a d i a b a t i c (t)⟩ = e θ n (t) e γ n (t) | ψ n (t)⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {adiabatic} (t) \ rangle = e ^ {\ theta _ {n} (t)} e ^ {\ gamma _ {n} (t)} | \ psi _ {n} (t) \ rangle} i θ n (t) = – 1 ℏ ∫ 0 t E n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ theta _ {n} (t) = – {\ Frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n} (t „) dt”} γ n (t) = ∫ 0 t ν n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n} (t „) dt”} zwany również fazą jagodową ν n (t) = i ⟨ψ n (t) | ψ ˙ n (t)⟩ {\ Displaystyle \ nu _ {n} (t) = ja \ langle \ psi _ {n} (t) | {\ kropka {\ psi}} _ {n} (t) \ rangle }
ProofEdit
Rozważmy zależne od czasu równanie Schrödingera
i ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩ = H ^ (t T) | ψ (t)⟩ {\ Displaystyle i \ hbar {\ częściowe \ ponad \ częściowe t} | \ psi (t) \ rangle = {\ kapelusz {H}} ({\ tfrac {t} {T}}) | \ psi (t) \ rangle}
Najpierw przedefiniuj czas jako λ = t T ∈ {\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in}:
ja ℏ ∂ ∂ λ | ψ (λ)⟩ = T H ^ (λ) | ψ (λ)⟩. {\ Displaystyle ja \ hbar {\ częściowe \ przez \ częściowe \ lambda} | \ psi (\ lambda) \ rangle = T {\ kapelusz {H}} (\ lambda) | \ psi (\ lambda) \ rangle.} | ψ (λ)⟩ = ∑ n c n (λ) | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = \ suma _ {n} c_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda ) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)}}, gdzie θ n (λ) = – 1 ℏ ∫ 0 λ E n (λ ′) d λ ′. {\ Displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) = – {\ Frac {1} {\ hbar}} \ int \ limity _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n} (\ lambda „) d \ lambda „.}
Faza θ n (t) {\ Displaystyle \ theta _ {n} (t)} nazywana jest dynamicznym współczynnikiem fazy. Podstawiając do równania Schrödingera, można otrzymać inne równanie na zmienność współczynników:
i ℏ ∑ n (c ˙ n | ψ n⟩ + cn | ψ ˙ n⟩ + icn | ψ n⟩ T θ ˙ n) ei T θ n = ∑ ncn TE n | ψ n⟩ e i T θ n. {\ Displaystyle ja \ hbar \ suma _ {n} ({\ kropka {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ kropka {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n}) e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} ∑ nc ˙ n | ψ n⟩ e i T θ n = – ∑ n c n | ψ ˙ n⟩ e i T θ n. {\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {it \ theta _ {n}} = – \ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} c ˙ m = – ∑ ncn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n – θ m). {\ displaystyle {\ kropka {c}} _ {m} = – \ suma _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ kropka {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m})}.}
Otrzymujemy:
d ˙ m = – ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n). {\ Displaystyle {\ kropka {d}} _ {m} = – \ suma _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ kropka {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})}.}
To równanie można scałkować:
dm (1) – dm (0) = – ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ = – ∫ 0 1 ∑ n ≠ m (d n – d n (0)) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ – ∫ 0 λ ∑ n ≠ m d n (0) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ ei T (θ n – θ m) – ja (γ m – γ n) d λ {\ Displaystyle {\ zaczynać {wyrównane} d_ {m} (1) -d_ {m} (0)
lub zapisane w notacji wektorowej
d → (1) – d → (0) = – ∫ 0 1 A ^ (T, λ) (d → (λ) – d → (0)) d λ – α → (T). {\ Displaystyle {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) = – \ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}} (T, \ lambda) ( {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0)) d \ lambda – {\ vec {\ alpha}} (T).}
Tutaj A ^ (T, λ ) {\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} (T, \ lambda)} to macierz i
α m (T) = ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn (0) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ ei T (θ n – θ m) – ja (γ m – γ n) d λ {\ Displaystyle \ alfa _ {m} (T) = \ int _ {0} ^ {1} \ suma _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda} to w zasadzie transformata Fouriera.‖ D → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ + ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ ‖ d → (λ) – d → (0) ‖ d λ { \ Displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert \ Vert {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0) \ Vert d \ lambda}
i zastosuj nierówność Grönwalla, aby otrzymać
‖ d → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ e ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ Re λ. {\ Displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert d \ lambda}.} | ψ (λ)⟩ = | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) ei γ n (λ). {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {it \ theta _ {n} ( \ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n} (\ lambda)}.}
Tak więc, dla procesu adiabatycznego, układ zaczynający się od n-tego stanu własnego również pozostaje w tym n-tym stanie własnym, tak jak ma to miejsce w czasie- niezależne procesy, tylko zbierając kilka czynników fazowych. Nowy czynnik fazowy γ n (t) {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (t)} można wyeliminować przez odpowiedni dobór miernika dla funkcji własnych. Jeśli jednak ewolucja adiabatyczna jest cykliczna, wówczas γ n (t) {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (t)} staje się niezmienną wielkością fizyczną, znaną jako faza Berry’ego.