断熱定理

断熱定理の数学的ステートメント編集

数学的には、定理は次のように表すことができます。

ゆっくりと変化するハミルトニアンH ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}時間範囲Tで、初期条件Ψ(0)=ψn(0){\ displaystyle \ Psiを使用したシュレーディンガー方程式Ψ(t){\ displaystyle \ Psi(t)}の解(0)= \ psi _ {n}(0)}ここで、ψn(t){\ displaystyle \ psi _ {n}(t)}は、瞬間シュレーディンガー方程式の固有ベクトルH ^(t)ψn(t )= E n(t)ψn(t){\ displaystyle {\ hat {H}}(t)\ psi _ {n}(t)= E_ {n}(t)\ psi _ {n}(t )}は次のように概算できます。‖Ψ(t)−ψ断熱(t)‖≈o(1 T){\ displaystyle \ left \ | {\ Psi(t)-\ psi _ {adiabatic}(t)} \ right \ | \ upperx o({\ frac {1} {T}})}ここで、断熱近似は次のとおりです。 ψadia b a t i c(t)⟩=eθn(t)eγn(t)| ψn(t)⟩{\ displaystyle | \ psi _ {adiabatic}(t)\ rangle = e ^ {\ theta _ {n}(t)} e ^ {\ gamma _ {n}(t)} | \ psi _ {n}(t)\ rangle}およびθn(t)= −1ℏ∫0t E n(t ‘)dt’ {\ displaystyle \ theta _ {n}(t)=-{\ frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n}(t “)dt”}γn(t)=∫0tνn(t ‘)dt’ {\ displaystyle \ gamma _ {n}(t)= \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n}(t “)dt”}ベリーフェーズとも呼ばれるνn(t)=i⟨ψn(t)| ψ˙n(t)⟩{\ displaystyle \ nu _ {n}(t)= i \ langle \ psi _ {n}(t)| {\ dot {\ psi}} _ {n}(t)\ rangle }

ProofEdit

時間依存のシュレディンガー方程式を検討する

iℏ∂∂t| ψ(t)⟩= H ^(t T)| ψ(t)⟩{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} | \ psi(t)\ rangle = {\ hat {H}}({\ tfrac {t} {T}})| \ psi(t)\ rangle}

最初に時間をλ=tT∈{\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in}として再定義します:

iℏ∂∂λ| ψ(λ)⟩= T H ^(λ)| ψ(λ)⟩。 {\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial \ lambda} | \ psi(\ lambda)\ rangle = T {\ hat {H}}(\ lambda)| \ psi(\ lambda)\ rangle。} | ψ(λ)⟩= ∑ n c n(λ)| ψn(λ)⟩eiTθn(λ){\ displaystyle | \ psi(\ lambda)\ rangle = \ sum _ {n} c_ {n}(\ lambda)| \ psi _ {n}(\ lambda )\ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}(\ lambda)}}、ここで、θn(λ)= −1ℏ∫0λEn(λ ‘)dλ’。 {\ displaystyle \ theta _ {n}(\ lambda)=-{\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n}(\ lambda “)d \ lambda “。}

位相θn(t){\ displaystyle \ theta _ {n}(t)}は動的位相係数と呼ばれます。シュレディンガー方程式に代入することにより、係数の変化に関する別の方程式を得ることができます。

iℏ∑ n(c˙n|ψn⟩+ cn |ψ˙n⟩+ icn |ψn⟩Tθ ˙n)eiTθn= ∑ ncn TE n | ψn⟩eiTθn。 {\ displaystyle i \ hbar \ sum _ {n}({\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n})e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}。} ∑nc˙n | ψn⟩eiTθn= − ∑ n c n | ψ˙n⟩eiTθn。 {\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} =-\ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}。}c˙m= − ∑ncn⟨ψm | ψ˙n⟩eiT(θn−θm)。 {\ displaystyle {\ dot {c}} _ {m} =-\ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT(\ theta _ {n}-\ theta _ {m})}。}

次のようになります。

d˙m= − ∑n≠mdn⟨ψm| ψ˙n⟩eiT(θn−θm)− i(γm−γn)。 {\ displaystyle {\ dot {d}} _ {m} =-\ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT(\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i(\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})}。}

この方程式は統合できます。

dm(1)− dm(0)= −∫0 1 ∑n≠mdn⟨ψm| ψ˙n⟩eiT(θn−θm)− i(γm−γn)dλ= −∫0 1 ∑ n≠m(d n − d n(0))⟨ψm| ψ˙n⟩eiT(θn−θm)− i(γm−γn)dλ−∫0λ∑n≠md n(0)⟨ψm| ψ˙n⟩eiT(θn−θm)− i(γm−γn)dλ{\ displaystyle {\ begin {aligned} d_ {m}(1)-d_ {m}(0)& =-\ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi }} _ {n} \ rangle e ^ {iT(\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i(\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ lambda \\ & =-\ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m}(d_ {n} -d_ {n}(0))\ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT(\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i(\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ lambda- \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n}(0)\ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT(\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i(\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ lambda \ end {aligned}}}

またはベクトル表記で記述

d→(1)− d→(0)= −∫0 1 A ^(T、λ)(d→(λ)− d→(0))dλ−α→(T)。 {\ displaystyle {\ vec {d}}(1)-{\ vec {d}}(0)=-\ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}}(T、\ lambda)( {\ vec {d}}(\ lambda)-{\ vec {d}}(0))d \ lambda-{\ vec {\ alpha}}(T)。}

ここにA ^(T、λ ){\ displaystyle {\ hat {A}}(T、\ lambda)}は行列であり、

αm(T)=∫01∑ n≠mdn(0)⟨ψm| ψ˙n⟩eiT(θn−θm)− i(γm−γn)dλ{\ displaystyle \ alpha _ {m}(T)= \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n}(0)\ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT(\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i(\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ lambda}は基本的にフーリエ変換です。‖d→(1)− d→(0)‖≤‖α→(T)‖+∫01‖A^(T、λ)‖‖d→(λ)− d→(0)‖dλ{ \ displaystyle \ Vert {\ vec {d}}(1)-{\ vec {d}}(0)\ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}}(T)\ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}}(T、\ lambda)\ Vert \ Vert {\ vec {d}}(\ lambda)-{\ vec {d}}(0)\ Vert d \ラムダ}

そしてGrönwallの不等式を適用して

‖d→(1)− d→(0)‖≤‖α→(T)‖e∫01‖A^(T、λ) ‖dλ。{\ displaystyle \ Vert {\ vec {d}}(1)-{\ vec {d}}(0)\ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}}(T)\ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}}(T、\ lambda)\ Vert d \ lambda}。} |ψ(λ)⟩= |ψn(λ)⟩ei Tθn(λ)eiγn(λ)。{\ displaystyle | \ psi(\ lambda)\ rangle = | \ psi _ {n}(\ lambda)\ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}( \ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n}(\ lambda)}。}

したがって、断熱プロセスの場合、n番目の固有状態から始まるシステムも、そのn番目の固有状態のままです-独立したプロセスで、いくつかの位相係数のみを取得します。新しい位相係数γn(t){\ displaystyle \ガンマ_ {n}(t)}は、固有関数のゲージを適切に選択することでキャンセルできます。ただし、断熱進化が周期的である場合、γn(t){\ displaystyle \ gamma _ {n}(t)}は、ベリー位相として知られるゲージ不変の物理量になります。

Leave a Reply

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です