단열 정리의 수학적 진술 편집
수학적 용어로 정리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.
천천히 변화하는 Hamiltonian H ^ {\ displaystyle 시간 범위 T의 {\ hat {H}}} 초기 조건이있는 슈뢰딩거 방정식 Ψ (t) {\ displaystyle \ Psi (t)}의 해 Ψ (0) = ψ n (0) {\ displaystyle \ Psi (0) = \ psi _ {n} (0)} 여기서 ψ n (t) {\ displaystyle \ psi _ {n} (t)}는 순시 슈뢰딩거 방정식 H ^ (t) ψ n (t ) = E n (t) ψ n (t) {\ displaystyle {\ hat {H}} (t) \ psi _ {n} (t) = E_ {n} (t) \ psi _ {n} (t )}는 다음과 같이 근사 할 수 있습니다. ‖ Ψ (t) − ψ 단열 (t) ‖ ≈ o (1 T) {\ displaystyle \ left \ | {\ Psi (t)-\ psi _ {adiabatic} (t)} \ right \ | \ approx o ({\ frac {1} {T}})} 여기서 단열 근사는 다음과 같습니다. | ψ a d i a b a t i c (t)⟩ = e θ n (t) e γ n (t) | ψ n (t)⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {adiabatic} (t) \ rangle = e ^ {\ theta _ {n} (t)} e ^ {\ 감마 _ {n} (t)} | \ psi _ {n} (t) \ rangle} 및 θ n (t) = − 1 ℏ ∫ 0 t E n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ theta _ {n} (t) =-{\ frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n} (t “) dt”} γ n (t) = ∫ 0 t ν n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n} (t “) dt”}는 베리 위상이라고도합니다. ν n (t) = i ⟨ψ n (t) | ψ ˙ n (t)⟩ {\ displaystyle \ nu _ {n} (t) = i \ langle \ psi _ {n} (t) | {\ dot {\ psi}} _ {n} (t) \ rangle }
ProofEdit
시간 종속 슈뢰딩거 방정식 고려
i ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩ = H ^ (t T) | ψ (t)⟩ {\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} ({\ tfrac {t} {T}}) | \ psi (t) \ rangle}
먼저 시간을 λ = t T ∈ {\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in} :
i ℏ ∂ ∂ λ | ψ (λ)⟩ = T H ^ (λ) | ψ (λ)⟩. {\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial \ lambda} | \ psi (\ lambda) \ rangle = T {\ hat {H}} (\ lambda) | \ psi (\ lambda) \ rangle.} | ψ (λ)⟩ = ∑ n c n (λ) | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) {\ displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda ) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)}}, 여기서 θ n (λ) = − 1 ℏ ∫ 0 λ E n (λ ′) d λ ′. {\ displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) =-{\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n} (\ lambda “) d \ 람다 “.}
위상 θ n (t) {\ displaystyle \ theta _ {n} (t)}는 동적 위상 계수라고합니다. Schrödinger 방정식으로 대체하여 계수의 변동에 대한 또 다른 방정식을 얻을 수 있습니다.
i ℏ ∑ n (c ˙ n | ψ n⟩ + cn | ψ ˙ n⟩ + icn | ψ n⟩ T θ ˙ n) ei T θ n = ∑ ncn TE n | ψ n⟩ e i T θ n. {\ displaystyle i \ hbar \ sum _ {n} ({\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n}) e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} ∑ nc ˙ n | ψ n⟩ e i T θ n = − ∑ n c n | ψ ˙ n⟩ e i T θ n. {\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} =-\ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} c ˙ m = − ∑ ncn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n − θ m). {\ displaystyle {\ dot {c}} _ {m} =-\ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n}-\ theta _ {m})}.}
우리는 다음을 얻습니다 :
d ˙ m = − ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n − θ m) − i (γ m − γ n). {\ displaystyle {\ dot {d}} _ {m} =-\ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i (\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})}.}
이 방정식은 다음과 같이 통합 할 수 있습니다.
dm (1) − dm (0) = − ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n − θ m) − i (γ m − γ n) d λ = − ∫ 01 ∑ n ≠ m (d n − d n (0)) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n − θ m) − i (γ m − γ n) d λ − ∫ 0 λ ∑ n ≠ m d n (0) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ ei T (θ n − θ m) − i (γ m − γ n) d λ {\ displaystyle {\ begin {aligned} d_ {m} (1) -d_ {m} (0) & =-\ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi }} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i (\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ lambda \\ & =-\ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} (d_ {n} -d_ {n} (0)) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i (\ gamma _ {m}-\ 감마 _ {n})} d \ lambda-\ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i (\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ 람다 \ end {aligned}}}
또는 벡터 표기법으로 작성
d → (1) − d → (0) = − ∫ 0 1 A ^ (T, λ) (d → (λ) − d → (0)) d λ − α → (T). {\ displaystyle {\ vec {d}} (1)-{\ vec {d}} (0) =-\ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}} (T, \ lambda) ( {\ vec {d}} (\ lambda)-{\ vec {d}} (0)) d \ lambda-{\ vec {\ alpha}} (T).}
여기 A ^ (T, λ ) {\ displaystyle {\ hat {A}} (T, \ lambda)}는 행렬이고
α m (T) = ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn (0) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ ei T (θ n − θ m) − i (γ m − γ n) d λ {\ displaystyle \ alpha _ {m} (T) = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n}-\ theta _ {m})-i (\ gamma _ {m}-\ gamma _ {n})} d \ lambda}는 기본적으로 푸리에 변환입니다.‖ d → (1) − d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ + ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ ‖ d → (λ) − d → (0) ‖ d λ { \ displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1)-{\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert \ Vert {\ vec {d}} (\ lambda)-{\ vec {d}} (0) \ Vert d \ 람다}
그 뢴월의 부등식을 적용하여
‖ d → (1) − d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ e ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ d λ. {\ displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1)-{\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert d \ lambda}.} | ψ (λ)⟩ = | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) ei γ n (λ). {\ displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} ( \ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n} (\ lambda)}.}
따라서 단열 과정의 경우 n 번째 고유 상태에서 시작하는 시스템도 시간 동안처럼 n 번째 고유 상태에 남아 있습니다. 독립적 인 프로세스, 몇 가지 위상 요인 만 선택합니다. 새로운 위상 요인 γ n (t) {\ displaystyle \ 감마 _ {n} (t)}는 고유 함수에 대한 적절한 게이지 선택으로 취소 할 수 있습니다. 그러나 단열 진화가 주기적이면 γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)}는 Berry 단계라고하는 게이지 불변 물리량이됩니다.