Enunciado matemático del teorema adiabáticoEditar
En términos matemáticos, el teorema se puede enunciar de la siguiente manera:
Para un hamiltoniano H ^ {\ displaystyle de variación lenta {\ hat {H}}} en el rango de tiempo T la solución de la ecuación de Schroedinger Ψ (t) {\ displaystyle \ Psi (t)} con condiciones iniciales Ψ (0) = ψ n (0) {\ displaystyle \ Psi (0) = \ psi _ {n} (0)} donde ψ n (t) {\ displaystyle \ psi _ {n} (t)} es el vector propio de la ecuación instantánea de Schroedinger H ^ (t) ψ n (t ) = E norte (t) ψ norte (t) {\ Displaystyle {\ hat {H}} (t) \ psi _ {n} (t) = E_ {n} (t) \ psi _ {n} (t )} se puede aproximar como: ‖ Ψ (t) – ψ adiabático (t) ‖ ≈ o (1 T) {\ Displaystyle \ left \ | {\ Psi (t) – \ psi _ {adiabatic} (t)} \ derecha \ | \ approx o ({\ frac {1} {T}})} donde la aproximación adiabática es: | ψ una d yo una segundo una t yo do (t)⟩ = mi θ norte (t) mi γ norte (t) | ψ norte (t)⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {adiabático} (t) \ rangle = e ^ {\ theta _ {n} (t)} e ^ {\ gamma _ {n} (t)} | \ psi _ {n} (t) \ rangle} y θ n (t) = – 1 ℏ ∫ 0 t E n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ theta _ {n} (t) = – {\ frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n} (t «) dt»} γ norte (t) = ∫ 0 t ν n (t ′) dt ′ {\ Displaystyle \ gamma _ {n} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n} (t «) dt»} también llamada fase Berry ν n (t) = i ⟨ψ n (t) | ψ ˙ n (t)⟩ {\ Displaystyle \ nu _ {n} (t) = i \ langle \ psi _ {n} (t) | {\ dot {\ psi}} _ {n} (t) \ rangle }
ProofEdit
Considere la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
i ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩ = H ^ (t T) | ψ (t)⟩ {\ Displaystyle i \ hbar {\ parcial \ sobre \ parcial t} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} ({\ tfrac {t} {T}}) | \ psi (t) \ rangle}
Primero redefine el tiempo como λ = t T ∈ {\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in}:
i ℏ ∂ ∂ λ | ψ (λ)⟩ = T H ^ (λ) | ψ (λ)⟩. {\ Displaystyle i \ hbar {\ parcial \ sobre \ parcial \ lambda} | \ psi (\ lambda) \ rangle = T {\ hat {H}} (\ lambda) | \ psi (\ lambda) \ rangle.} | ψ (λ)⟩ = ∑ norte do norte (λ) | ψ norte (λ)⟩ ei T θ norte (λ) {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda ) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)}}, donde θ n (λ) = – 1 ℏ ∫ 0 λ E n (λ ′) d λ ′. {\ Displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) = – {\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n} (\ lambda «) d \ lambda «.}
La fase θ n (t) {\ displaystyle \ theta _ {n} (t)} se llama factor de fase dinámica. Por sustitución en la ecuación de Schrödinger, se puede obtener otra ecuación para la variación de los coeficientes:
i ℏ ∑ n (c ˙ n | ψ n⟩ + cn | ψ ˙ n⟩ + icn | ψ n⟩ T θ ˙ n) ei T θ n = ∑ ncn TE n | ψ n⟩ e i T θ n. {\ Displaystyle i \ hbar \ sum _ {n} ({\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n}) e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} ∑ nc ˙ n | ψ norte⟩ mi yo T θ norte = – ∑ norte do norte | ψ ˙ norte⟩ e i T θ n. {\ Displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} = – \ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} c ˙ m = – ∑ ncn ⟨ψ m | ψ ˙ norte⟩ mi yo T (θ norte – θ metro). {\ Displaystyle {\ dot {c}} _ {m} = – \ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m})}.}
Obtenemos:
d ˙ m = – ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ norte⟩ mi yo T (θ norte – θ metro) – yo (γ metro – γ norte). {\ Displaystyle {\ dot {d}} _ {m} = – \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})}.}
Esta ecuación se puede integrar:
dm (1) – dm (0) = – ∫ 0 1 ∑ norte ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ norte⟩ mi yo T (θ norte – θ metro) – yo (γ metro – γ norte) re λ = – ∫ 0 1 ∑ norte ≠ metro (re norte – re norte (0)) ⟨ψ metro | ψ ˙ norte⟩ mi yo T (θ norte – θ metro) – yo (γ metro – γ norte) re λ – ∫ 0 λ ∑ norte ≠ metro re norte (0) ⟨ψ metro | ψ ˙ norte⟩ ei T (θ norte – θ metro) – yo (γ m – γ norte) re λ {\ Displaystyle {\ begin {alineado} d_ {m} (1) -d_ {m} (0) & = – \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi }} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda \\ & = – \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} (d_ {n} -d_ {n} (0)) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda – \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda \ end {alineado}}}
o escrito en notación vectorial
d → (1) – d → (0) = – ∫ 0 1 A ^ (T, λ) (d → (λ) – d → (0)) d λ – α → (T). {\ Displaystyle {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) = – \ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}} (T, \ lambda) ( {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0)) d \ lambda – {\ vec {\ alpha}} (T).}
Aquí A ^ (T, λ ) {\ displaystyle {\ hat {A}} (T, \ lambda)} es una matriz y
α m (T) = ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn (0) ⟨ψ m | ψ ˙ norte⟩ ei T (θ norte – θ metro) – yo (γ metro – γ norte) re λ {\ Displaystyle \ alpha _ {m} (T) = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda} es básicamente una transformada de Fourier.‖ D → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ + ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ ‖ d → (λ) – d → (0) ‖ d λ { \ Displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert \ Vert {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0) \ Vert d \ lambda}
y aplique la desigualdad de Grönwall para obtener
‖ d → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ e ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ D λ. {\ Displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert d \ lambda}.} | ψ (λ)⟩ = | ψ n (λ)⟩ ei T θ norte (λ) ei γ norte (λ). {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} ( \ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n} (\ lambda)}.}
Entonces, para un proceso adiabático, un sistema que comienza en el n-ésimo estado propio también permanece en ese n-ésimo estado propio como lo hace por el momento- procesos independientes, recogiendo solo un par de factores de fase. El nuevo factor de fase γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)} se puede cancelar mediante una elección adecuada de calibre para las funciones propias. Sin embargo, si la evolución adiabática es cíclica, entonces γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)} se convierte en una cantidad física invariante en cuanto al calibre, conocida como fase Berry.