Wiskundige bewering van de adiabatische stellingEdit
In wiskundige termen kan de stelling als volgt worden uitgedrukt:
Voor een langzaam variërende Hamiltoniaan H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}} in het tijdbereik T de oplossing van de schroedinger-vergelijking Ψ (t) {\ displaystyle \ Psi (t)} met beginvoorwaarden Ψ (0) = ψ n (0) {\ displaystyle \ Psi (0) = \ psi _ {n} (0)} waarbij ψ n (t) {\ displaystyle \ psi _ {n} (t)} de eigenvector is van de momentane Schroedinger-vergelijking H ^ (t) ψ n (t ) = E n (t) ψ n (t) {\ Displaystyle {\ hat {H}} (t) \ psi _ {n} (t) = E_ {n} (t) \ psi _ {n} (t )} kan worden benaderd als: ‖ Ψ (t) – ψ adiabatisch (t) ‖ ≈ o (1 T) {\ displaystyle \ left \ | {\ Psi (t) – \ psi _ {adiabatisch} (t)} \ rechts \ | \ ongeveer o ({\ frac {1} {T}})} waarbij de adiabatische benadering is: | ψ een d ik een b een t ik c (t)⟩ = e θ n (t) e γ n (t) | ψ n (t)⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {adiabatisch} (t) \ rangle = e ^ {\ theta _ {n} (t)} e ^ {\ gamma _ {n} (t)} | \ psi _ {n} (t) \ rangle} en θ n (t) = – 1 ℏ ∫ 0 t E n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ theta _ {n} (t) = – {\ frac { 1} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} E_ {n} (t “) dt”} γ n (t) = ∫ 0 t ν n (t ′) dt ′ {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ nu _ {n} (t “) dt”} ook wel Berry-fase genoemd ν n (t) = i ⟨ψ n (t) | ψ ˙ n (t)⟩ {\ Displaystyle \ nu _ {n} (t) = i \ langle \ psi _ {n} (t) | {\ punt {\ psi}} _ {n} (t) \ rangle }
ProofEdit
Beschouw de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking
i ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩ = H ^ (t T) | ψ (t)⟩ {\ Displaystyle i \ hbar {\ partiële \ over \ partiële t} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} ({\ tfrac {t} {T}}) | \ psi (t) \ rangle}
Definieer tijd eerst opnieuw als λ = t T ∈ {\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in}:
i ℏ ∂ ∂ λ | ψ (λ)⟩ = T H ^ (λ) | ψ (λ)⟩. {\ Displaystyle i \ hbar {\ partiële \ over \ partiële \ lambda} | \ psi (\ lambda) \ rangle = T {\ hat {H}} (\ lambda) | \ psi (\ lambda) \ rangle.} | ψ (λ)⟩ = ∑ n c n (λ) | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda ) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)}}, waarbij θ n (λ) = – 1 ℏ ∫ 0 λ E n (λ ′) d λ ′. {\ displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) = – {\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limieten _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n} (\ lambda “) d \ lambda “.}
De fase θ n (t) {\ displaystyle \ theta _ {n} (t)} wordt de dynamische fasefactor genoemd. Door substitutie in de Schrödingervergelijking kan een andere vergelijking voor de variatie van de coëfficiënten worden verkregen:
i ℏ ∑ n (c ˙ n | ψ n⟩ + cn | ψ ˙ n⟩ + icn | ψ n⟩ T θ ˙ n) ei T θ n = ∑ ncn TE n | ψ n⟩ e ik T θ n. {\ Displaystyle i \ hbar \ sum _ {n} ({\ punt {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ punt {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ punt {\ theta}} _ {n}) e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ som _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} ∑ nc ˙ n | ψ n⟩ e ik T θ n = – ∑ n c n | ψ ˙ n⟩ e ik T θ n. {\ displaystyle \ som _ {n} {\ punt {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} = – \ som _ {n} c_ { n} | {\ punt {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.} c ˙ m = – ∑ ncn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e ik T (θ n – θ m). {\ displaystyle {\ punt {c}} _ {m} = – \ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ punt {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m})}.}
We krijgen:
d ˙ m = – ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e ik T (θ n – θ m) – ik (γ m – γ n). {\ displaystyle {\ punt {d}} _ {m} = – \ som _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ punt {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})}.}
Deze vergelijking kan worden geïntegreerd:
dm (1) – dm (0) = – ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e ik T (θ n – θ m) – ik (γ m – γ n) d λ = – ∫ 0 1 ∑ n ≠ m (d n – d n (0)) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e ik T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ – ∫ 0 λ ∑ n ≠ m d n (0) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ ei T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ {\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} d_ {m} (1) -d_ {m} (0) & = – \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ punt {\ psi }} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda \\ & = – \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} (d_ {n} -d_ {n} (0)) \ langle \ psi _ {m} | {\ punt {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda – \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda \ end {uitgelijnd}}}
of geschreven in vectornotatie
d → (1) – d → (0) = – ∫ 0 1 A ^ (T, λ) (d → (λ) – d → (0)) d λ – α → (T). {\ displaystyle {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) = – \ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}} (T, \ lambda) ( {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0)) d \ lambda – {\ vec {\ alpha}} (T).}
Hier A ^ (T, λ ) {\ displaystyle {\ hat {A}} (T, \ lambda)} is een matrix en
α m (T) = ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn (0) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ ei T (θ n – θ m) – i (γ m – γ n) d λ {\ Displaystyle \ alpha _ {m} (T) = \ int _ {0} ^ {1} \ som _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ punt {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} – \ theta _ {m}) – i (\ gamma _ {m} – \ gamma _ {n})} d \ lambda} is in feite een Fourier-transformatie.‖ D → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ + ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ ‖ d → (λ) – d → (0) ‖ d λ { \ displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert + \ int _ {0 } ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert \ Vert {\ vec {d}} (\ lambda) – {\ vec {d}} (0) \ Vert d \ lambda}
en pas de ongelijkheid van Grönwall toe om
‖ d → (1) – d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ e ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ D λ. {\ Displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) – {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert d \ lambda}.} | ψ (λ)⟩ = | ψ n (λ)⟩ ei T θ n (λ) ei γ n (λ). {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} ( \ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n} (\ lambda)}.}
Dus, voor een adiabatisch proces, blijft een systeem dat begint met de nde eigentoestand ook in die nde eigentoestand, net als voor die tijd- onafhankelijke processen, waarbij slechts een paar fasefactoren worden opgepikt. De nieuwe fasefactor γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)} kan worden opgeheven door een geschikte maatkeuze voor de eigenfuncties. Als de adiabatische evolutie echter cyclisch is, wordt γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)} een ijkinvariante fysische grootheid, bekend als de Berry-fase.